SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 357 



normale ellittico (e in questo caso anzi tutte le quadriate del sistema saranno coni, 

 e collo stesso vertice del cono base) (1). Per r s 9 te varietà base potrà anche essere 

 una superficie razionale di ordine r a sezioni ellittiche (2). 



Una curva appartenente ad S^ e di ordine n > 2r -|- 2 per la quale passino preci- 

 samente Ci') — 1 quadriche indipendenti sta sempre sopra un cono normale ellittico, se 

 r > 9; (e quelle quadriche saranno tutte coni, ecc.). Se r < 9, la curva potrà anche 

 stare su di una ?*■ razionale a sezioni ellittiche. 



E in particolare : Una curva normale di genere tt — k e di ordine superiore a 



^ (r — 1) + 1 — ^— (r — 1) + 2 secondo che k è pari o dispari {2r -|- 2, se k = l) 



starà sempre su di una rigata razionale normale o su di un cono normale ellittico se 

 lo spazio (Sy) cui essa appartiene è superiore a S9. 



Se però r < 9^ la curva potrà stare anche su di una F" razionale a sezioni ellit- 

 tiche; e anche sulla superficie di Veronese, se r = 5. 



13. — Una curva tracciata su di un cono normale ellittico di S„ in modo da 

 avere un punto s?^" nel vertice di questo cono e da incontrarne ancora ogni genera- 

 trice in altri m punti, è di ordine 



n = mr -\- s 



e di genere 



p = C^) r + 1 + s (jw — 1) — 2: 



se con z indichiamo il numero dei suoi punti doppi (astrazion fatta dall'accennato 

 punto sP'°) (3). Perchè dunque una curva di S, di dato ordine n e dato genere ^ = ir — k 

 possa stare su di un cono normale ellittico, è necessario che le due equazioni scritte 

 siano soddisfatte da una medesima terna di valori interi e positivi di m, s e z (in- 

 clusovi per s Q z anche lo zero). A priori si può dunque aspettarsi la cosa come non 

 sempre possibile; si può aspettarsi cioè che qualche curva della quale siano asse- 

 gnati ad arbitrio l'ordine ed il genere possa — qualunque siano gli altri suoi carat- 

 teri — non stare mai sopra un cono normale ellittico dello spazio a cui appartiene. 

 Vedremo in seguito, esaminando alcuni casi particolari, che così è effettivamente; e 

 che le curve giacenti su di un tal cono devono avere appunto certi ordini e certi 

 generi particolari, almeno particolarmente legati fra di loro. 



(1) Ciò perchè i coni quadrici ohe necessariamente fanno parte del sistema bastano ad esaurirlo. 

 Del resto, se il vertice del cono ellittico non fosse punto doppio per una quadrica qualsiasi di 

 questo sistema, questa dovrebbe ammettere in quello stesso punto un S^_j tangente ben deter- 

 minato e contenente tutte le generatrici di quel cono; cosa che sarebbe assurda, perchè queste 

 generatrici non stanno in un medesimo iperpiano. 



(2) Questo si è dimostrato per r > 5. Per r = 4 poi il sistema di quadriche in discorso si ridur- 

 rebbe a un fascio, e avrebbe quindi per varietà base appunto una superficie P* a sezioni (in gene- 

 rale) ellittiche. Per »• < 4 la dimensione ('^'2 ') — 2 diventerebbe < 0. 



(3) Ciò per la nota formola del sig. Seghe, già pivi volte applicata. Per il caso in cui (come qui) 

 la rigata è un cono, la formola era stata data anche dallo Sturm (" Math. Ann. ,, XIX, p. 487). 



