358 GINO FANO 



Il caso di Una curva per la quale si possa condurre un cono normale ellittico 

 ci appare dunque, quasi direi, come eccezione. E si potrebbe anche asserire (e ciò 

 apparirà meglio in seguito) che per r > 9 una curva di S, di genere tt — k e di 

 ordine superiore ai limiti già piii volte ricordati sta in generale sulla rigata razionale 



normale R'~^, e quindi sulle (xr- ^ ' quadriche che contengono quesf ultima superficie. 



§ 6. 



Sulle curve di genere n — 1. 



14. — I risultati ottenuti nel paragrafo precedente si applicano a lor volta alle 

 curve di genere tt — 1, per le quali (com'è noto) passano sempre almeno (''7') — 1 

 quadriche indipendenti; e non riuscirà forse privo d'interesse l'esaminare un po' più 

 da vicino i vari casi che queste curve possono presentare. Basterà naturalmente che 

 ci occupiamo di quelle di ordine w < 3r — 1 (1); e potremo anche limitarci alle curve 

 speciali, supporre cioè altresì n > 2r. Posto pertanto n=2r-\-i dove < ^ < r — • 1, 

 ed osservato che all'ordine 2r -j- « deve corrispondere il genere massimo ■[z^=^r-\-2i-\-\, 

 è chiaro che le curve da considerarsi saranno del tipo C^^J (2). 



E anzitutto: quali fra queste curve possono stare sul cono normale ellittico? 

 È chiaro che una C^(Vj^*. contenuta in questo cono dovrebbe avere un punto jp'" nel 

 vertice, e incontrare ancora ogni generatrice in due altri punti. Supposto pertanto 

 che una tal curva abbia (all'infuori del vertice) r punti doppi, potremo scrivere 



r-)-2i=l.r-|-l-|-i.l — z 



ossia i = 1 — z; relazione che (dovendo essere i > 0, 2; > 0) è soddisfatta solo per 

 i = l, 2i = 0. L'unica delle nostre curve che possa stare sul cono ellittico è dunque 

 la- C^l^^; questa dovrà passare (semplicemente) pel vertice del cono, e non avrà 

 punti doppi. 



Ciò posto, osserviamo che la curva C^''-'-'' , essendo di genere r -\-2i, conterrà 

 come serie canonica una 5*2^7^2 ' ^ siccome su di essa gli iperpiani (Sr_i) segano una 

 92r4-i' ^^^^ ^i ^^^^ pure, come residua di quest'ultima, una glzl^ (3). La considerazione 

 di questa serie residua sarà, come vedremo, fondamentale per lo studio che ci siamo 

 proposti. 



(1) Se l'ordine fosse più elevato {n > 3r — 1) la curva starebbe certo su di una superficie di 

 ordine r — 1 (v. § 2). 



(2) E queste curve sono anche tutte normali, perchè una C '"'*"' di Sr+l non può essere di 

 genere superiore a (r -|- 1) -|- 2 (« — 2) -|- 1 = r -|- 2» — 2 (quando sia » > e < »• + 1). 



(3) È nota la proprietà caratteristica di queste seì-ie (reciprocamente) residue; che cioè un 

 gruppo dell'una e un gi-uppo dell'altra, presi pur comunque, formano sempre insieme un gruppo 

 della serie canonica {g2p^2)- 



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