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questi piani equivarrà ad imporle due (nuove) condizioni ; e noi potremo perciò sempre 

 trovare nell'ultimo sistema una quadrica la quale contenga almeno -^ o '^ (se- 

 condo che r è pari o dispari) fra quegli stessi piani. L'intersezione residua di questa 

 quadrica colla varietà M5~^ sarà una superficie F di ordine (non superiore a) '~" 

 rispett. 'I~ ; e su questa dovrà stare la curva proposta. La superficie stessa con- 

 terrà pure una co^ razionale di coniche, e sarà perciò (a meno che la conica gene- 

 rica non si spezzi) razionale, a sezioni iper ellittiche; sarà anche normale, perchè tali 

 sono le sue sezioni (1). Il genere di queste sarà uguale all'ordine della superficie F 



diminuito di r — 1 ; non potrà quindi essere superiore a -^ o ^^ ; ma, in gene- 

 rale, avrà precisamente l'uno o l'altro di questi valori. La curva 0^''+^ (che dicemmo 

 stare su F) si potrà ottenere come intersezione (completa o parziale) di F stessa é 

 di una quadrica (altra del sistema co''"*, e non contenente la superficie F (2) ) ; e se 

 di queste essa è intersezione solo parziale, l'intersezione residua sarà costituita da 



un certo numero ( nel caso piii generale ^-^ o ^—^ ) di coniche. Infatti ogni qua- 



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drica passante per la curva C^''+^ e non per F sega ciascuna delle coniche di questa 

 già in quattro punti fissi, posti su quella curva ; sicché la conica di F passante per 

 un nuovo punto eventualmente comune a F stessa e a quella quadrica avrebbe co- 

 muni con quest'ultima già cinque punti, e starebbe perciò tutta su di essa (3). 



L'ordine della superficie F potrà però qualche volta abbassarsi, — e altrettanto 

 avverrà allora del genere delle sue sezioni — . Così, p. es., se la M3"* fosse un cono 

 — se cioè quegli co^ piani passassero tutti per un medesimo punto — vi sarebbe 

 certo nel sistema co'"* una quadrica contenente anche r — 5 fra quegli stessi piani; 

 la superficie F risulterebbe allora di ordine r -j- 1 e colle sezioni di genere due, e 

 le sue co^ coniche passerebbero tutte per un medesimo punto (4). La curva 0^*'+^ 

 sarebbe allora intersezione completa di questa superficie con una quadrica. 



Più particolarmente ancora può darsi che quelle co^ coniche (passando pur sempre 

 per uno stesso punto) si scindano tutte in coppie di rette (concorrenti in questo punto); 

 allora la superficie F sarebbe un cono di ordine r -|- 1 e genere due, e la C^*""*"^ sa- 

 rebbe intersezione (completa) di questo cono con una quadrica non passante pel suo 

 vertice. Questa curva conterrebbe allora una serie co' (di genere 2) di coppie di 

 punti, e la g\ sarebbe, in un certo senso, composta mediante quella serie (sarebbe 

 cioè la g\ entro la stessa co' di coppie di punti) (5). 



(1) Sono infatti curve iperellittiche , ottenibili come intersezioni di una rigata razionale nor- 

 male con una quadrica condotta per un certo numero di sue generatrici. 



(2) E di quadriolie così fatte ne esisteranno certo, se r > 4. 



(3) Abbiamo così anche un modo, e abbastanza semplice, per trovare delle curve piane atte a 

 rappresentare queste C^!^ , partendo cioè dalle note rappresentazioni delle superficie a sezioni 

 iperelliticlie (Cfr. alcuni lavori del Castelnuovo che verranno oit. più particolarmente in seguito). 



(4) Questa superficie si rappresenterebbe precisamente con un sistema di sestiche piane aventi 

 a comune un punto quadruplo e due punti doppi infinitamente vicini a questo. 



(5) Il ragionamento fatto è, come si vede, assai semplice; ma si può anche applicarlo (con 

 poche e lievissime modificazioni) in molti oasi analoghi, alcuni dei quali saranno pure accennati in 

 seguito. Per questo appunto ho voluto esporlo qui per disteso. 



