SOPRA LE CDRVE DI DATO ORDINE, ECC. 361 



Questo ragionamento non è più applicabile (tutto almeno) al caso di r = 4. Dal 

 fatto però che per la Cs" di S4 passano sempre c»^ quadriche (tutte quelle cioè di 

 un fascio) segue senz'altro che questa curva dovrà stare sulla superficie F* comune 

 a quelle stesse quadriche (e uno dei coni del fascio sarà precisamente costituito dai 

 piani che contengono i singoli gruppi della ^J). 



Riassumendo dunque, abbiamo : Una curva Gl''_^^ di S^ (r > 4) la quale non stia 

 sulla rigata R'~^ sta in generale su di una superficie razionale normale di ordine 

 — ^ {secondo che r è numero pari dispari) a sezioni iperellittiche di genere 



rispett. —^ ; e può ottenersi precisamente come intersezione di questa superficie 



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^ rispei.. „ 



con una quadrica passante per —^ —^ sue coniche. U ordine della superficie, e cor- 

 rispondentemente il genere delle sue sezioni e il numero di queste coniche, possono però 

 abbassarsi e ridursi rispett. fino ai valori limiti r -[" 1» 2, 0; in quest'ultimo caso la 

 superficie può anche essere un cono di ordine r -|- 1 e genere due. — Infine per r < 8 

 la curva C^^'^ può anche stare su di una F' razionale a sezioni ellittiche comune a 

 tutte le quadriche che la contengono (e ciò si verifica anzi sempre per r = 4) (1); e per 

 r :^ 5 esiste anche una Gf contenuta in una F| di Veronese. 



Queste curve sono tutte prive di punti doppi, meno l'ultima (CJ- di S5) che ne 

 ha uno (2). 



17. Per i >• 3 lo studio delle curve C^]^| di S^ rimane assai facilitato, potendo 

 noi già asserire a priori (in forza di teoremi precedenti) che ciascuna di queste curve 

 dovrà stare su di una superficie normale a sezioni razionali od ellittiche. Sappiamo 

 anzi che questo secondo caso potrà presentarsi solo per r < 9 (e anzi solo per r < 8 

 se l'ordine 2r -|- ^ = 18 f i della curva in S9 non è un multiplo di 3); ma possiamo 

 anche ritrovare la stessa cosa per altra via. 



(1) Questo ci è confermato (almeno in parte) anclie dall'enumerazione delle costanti, la quale 

 ci dice appunto che la Cj^ generale non sta certo sulla F' razionale a sezioni ellittiche se r >■ 4 , 

 ma può forse starvi per r = 4. Infatti le curve Cj_^ di Sr formano, tutte insieme, un sistema 

 di dimensione almeno uguale a (r -f- 1) (2j- -(-2) — (r -j- 3) (r — -3) ossia r^ -j- 4r -|- 11 (cfr. Castelntjovo : 

 Numero delle involuzioni razionali etc; " Rend. Acc. dei Lincei ,; serie II, 1889). Quelle invece ohe stanno 

 sopra una y a sezioni ellittiche (esclusa almeno la F* di seconda specie) ne formano uno di dimen- 

 sione (r' + 10) + (3r + 5) = r- + Sr + 15. (Infatti le F"- di Sr a sezioni eUittiehe sono Co'''+^° {r < 9), 

 e su ciascuna di queste le C,.!^ — che si rappresentano con C piane aventi nei 9 — r punti fon- 

 damentali rispett. un punto triplo e 8 — r punti doppi — formano (per »■ < 8) 9 — r sistemi lineari 

 di dimensione appunto 35 — 6 — 3 (8 — r) = Sr-j- 5). E questo secondo numero {r^ -|- Sr -)- 15), infe- 

 riore al primo per r ^ 5, diventa invece eguale ad esso per r = 4. 



(2) Volendo fare a parte la ricerca delle C^^^ con punto doppio, si potrebbe osservare che 

 queste ultime contengono una ff2~ , quindi (come residua), una g\; e questa può essere composta 

 mediante una g^ (ma non altrimenti) — e allora si hanno le curve esistenti sulla rigata R""" 

 e considerate da principio — , oppure non composta (e senza punti fissi). In tal caso la C *" deve 

 potersi riferire a una sestica piana, il che esige r-\-^^ 10, quindi r 5 6, e anzi r < 5 perchè la 

 sestica piana generale non contiene alcuna g^. Per r = 4: si ha allora la Cg di S4 coi gruppi della jr^ 

 collineari; per r = 5, la C^" di S» posta sulla superficie di Veronese. 



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