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Abbiamo già osservato che la curva C^|^' contiene una serie lineare gi~li. Perciò, 

 se questa serie non è composta e non ha punti fissi, quella curva sarà certo rife- 

 ribile a una Cf^2i i semplice ) di S,_i , sulla quale la ^57-2 verrà segata dagli S,_2 

 contenuti nel suo Si_i. 



La serie g'^l-, non può essere composta. Infatti, essendo -. — r- < 4 (se i > 2), essa 



potrebbe tutt'al più essere composta con una serie co^ di coppie o di terne di punti. 

 Quest'ultimo caso si esclude subito, perchè l'ordine 3* — 2 non è certo multiplo di 3. 

 Quanto al primo, esso potrebbe presentarsi soltanto quando i fosse pari ; e, supposto 

 allora i ^= 2k, il genere della serie di coppie di punti non potrebbe superare il limite 

 (3À- — 1) — (2fc — 1) = fc (1). E questo ci porterebbe a concludere che le congiun- 

 genti di quelle stesse coppie di punti formerebbero una rigata di ordine < r — 1, 

 risultato che è manifestamente incompatibile colle nostre ipotesi (anche nel caso 

 estremo dell'ordine = r — 1). 



La serie gs^-^j può avere un punto fisso. Allora la curva C^!^- è proiezione di una 

 Qa-+i+i (jj Sr+i; sta quindi sulla rigata razionale normale e ha un punto doppio. Le 

 generatrici di questa rigata determinano su di essa una gì, e la g^^l^ che si ottiene 

 dalla gt^lì col fare astrazione dal punto fisso è precisamente composta con quest'ul- 

 tima sei'ie. — E possiamo anche dire, inversamente, che ogni C^l^j di S, [i < r — 1) 

 tracciata sulla rigata R'""^ in modo da incontrarne ogni generatrice in tre punti deve 

 avere un punto doppio e può ottenersi come proiezione di una 0^''+'"'"' di Sr+i. — Piìi 

 di un pimto fisso la g^l^ non può avere. 



Escluse pertanto queste curve contenenti una g\, non resteranno che quelle ri- 

 feribili a una C^'~° di Si_i; e siccome d'altra parte il genere di questa C^'~^ non può 

 essere superiore a 15, se i = 3; a 16, se t = 4; e a 3(i-t- 1), se t > 4, potremo 

 concludere che, fuori della rigata R'"', 



le curve (?Jj^^ possono esistere soltanto per r -{- & < 15 ossia per r < 9 (dunque 

 per r = 5, 6, 7, 8, 9); 



le curve C^^ solo per >• -)- 8 < 16 ossia per r < 8 (dunque per r = 6, 7, 8) ; 



le curve Gf^. [i > 4) solo per r + 2i < 3 (i -j- 1) ossia per r < i -|- 3 (dunque 

 per r = « -|- 2, i -|- 3); 

 e anzi queste ultime (come si vede facilmente) se r > 9 dovranno stare anch'esse 

 sulla rigata R'"', ma ne taglieranno ogni generatrice in quattro (anziché in tré) 

 punti (2). 



(1) La serie 5'3,-_2 si riduce infatti, su questa oo' di coppie di punti, a una g^!i_i; e quest'ul- 

 tima serie è certo non speciale se Sk — 1 < 2 (2fc — 1) ossia se ^>1. 



(2) Per r < 9 potranno invece essere contenute ancora in superfìcie di ordine r; ciò proviene 

 dal fatto ohe la curva C di S,-_i, pur essendo in generale contenuta in una rigata R'~ e in- 

 contrando le generatrici di questa in quattro punti, può tuttavia, per valori particolari di i, incon- 

 trare queste stesse generatrici in cinque punti, o anche stare sulla superficie di Veronese. — E questo 

 lin[iite 9 (e anzi 8 quando l'ordine della curva, per r = 9, non risulterebbe multiplo di 3) mi sembra 

 veramente notevole. Certo che non ne abbiamo una nuova dimostrazione dei risultati già ottenuti 

 dal sig. Del Pezzo per le superficie razionali a sezioni ellittiche (in quanto specialmente queste non 



