SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 365 



§ 7. 



Sistemi lineari di quadriche di dimensione CiO — 3. 

 Loro varietà basi. — Superficie di ordine r-^ 1. 



19. — Lo stesso teorema del n" 9 ci dà ancora, per i ^= 3 : 



Se nello spazio S, (r > 5) si ha un gruppo di 2r + £^ 4" 2: (x > 4) punti indipen- 

 denti e tali che le quadriche passanti per 2r -|- 3 qualunque fra essi passino sempre 

 di conseguenza pei rimanenti, questi punti staranno tutti su di una M.l~^ = co^ razio- 

 nale normale di piani (che sarà anche segata in una rigata W~^ dall'S^^^ di r — 1 

 fra quei punti). 



Si può mostrare anche qui che le quadriche passanti per quei primi 2r -\- 3 

 punti dovranno averne comuni di conseguenza non solo x, ma infiniti altri. — Sup- 

 poniamo infatti che il loro sistema lineare abbia soltanto un numero finito 2r + 3 -|- a; 

 di punti basi. Per questi punti passano certo ('"+^) — 2r — 8 ossia (0 — 2 quadriche 

 indipendenti, mentre per la varietà Ms"' non ne passano che ("l'O; v^i sarà dunque 

 un sistema lineare (almeno) co'''"'' (e quindi, se r i 5, di dimensione certo > 0) di 

 quadriche passanti per i punti proposti e non per la varietà ÌKl'^. Fra queste pren- 

 diamone, possibilmente, una che seghi la Wf° stessa in una superficie irrMuttibile; 

 superficie che risulterà di ordine 2r — 4 e colle sezioni iperellittiche di genere r — 3, 

 e passerà per quei certi punti. Si seghi ancora questa superficie con una quadrica 

 che non la contenga, ma passi per questi stessi punti; si avrà così una curva di 

 ordine 4r — 8, per la quale passeranno ('7') -|- 2 quadriche indipendenti. Su questa 

 le quadi'iche di S,. segheranno una gtr~K; e obbligando queste stesse quadriche a 

 passare per quei primi 2r -f- 3 punti , rimarrà una gZ-ìo che dovrà avere x punti 

 fissi. Se noi dimostreremo che questa serie (supposta almeno la C^'"* irriduttibile) 

 non può avere piìi di tre punti fissi, potremo dunque concluderne che, nel nostro 

 caso, la superficie la curva di cui sopra saranno necessariamente riduttibili, e che 

 perciò le quadriche passanti per i punti proposti avranno certo infiniti punti a 

 comune (1). Supposto pertanto che la gt-w possa avere anche tre punti fissi, basterà 

 mostrare che la gX-li ottenuta astraendo da questi ultimi non può averne più alcuno. 

 È questo appunto che ora faremo. 



La superficie considerata di ordine 2r — 4 si può infatti rappresentare sul piano 

 col sistema delle curve di un certo ordine r — 1 -\- \x {\x^ r — 3) aventi a comune 

 un punto (»• — 8 -|- p)?'" — che chiameremo P — e poi ancora )x punti doppi infi- 



li) Infatti, se la superficie F '' fosse necessariamente riduttibile , la cosa sarebbe quasi evi- 

 dente, perchè in ogni iperpiano — e precisamente sulla sezione determinata da questo nella Mj~ 

 — vi sarebbe qualche punto comune a tutte quelle quadriche. Che se poi la superficie potesse 

 prendersi irriduttibile, ma non così la curva sua sezione con una quadrica, le sezioni così ottenute 

 (non potendo, come si vede facilmente, spezzarsi in curve di un fascio) avrebbero certo tutta una 

 parte a comune (parte che passerebbe per alcuni almeno fra i punti proposti). 



