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nitamente vicini a questo e 2r — 4 punti semplici (1). La sezione determinata da 

 una quadrica in quella superficie — in particolare dunque la curva considerata di 

 ordine 4r — 8 — si rappresenterà allora con una curva piana di ordine 2r — 2 -\- 2|a 

 avente il punto P per (2r — 6 -|- 2^^^° e poi ancora |li punti quadrupli (A) infinita- 

 mente vicini a questo e 2r — 4 punti doppi (B). Questa curva — che chiameremo C — 

 è di genere ir — 11, e contiene perciò come serie canonica una gll-W; ad ogni 

 gZ-2ì su di essa corrisponderà dunque come residua una glr-2- Fissato pertanto un 

 gruppo arbitrario Gjr-s di quest'ultima serie, potremo segare su C la gllzl^ col sistema 

 lineare delle curve di ordine 2r — 5 + 2|a che passano per il gruppo G^r-^ e sono 

 aggiunte a C stessa , hanno cioè il punto P per {2r — 7 -]- 2)li)p'°, i |a punti A per 

 tripli, e passano ancora semplicemente per i 2r — 4 punti B (2). Da una qualunque 

 di queste curve si staccheranno però le \i rette che congiungono. P ai singoli punti A; 

 e, facendo astrazione da queste, rimarrà una curva generica F di ordine 2r — 5 + M 

 avente il punto P per (2r — 7 -{- h)p'", i fx punti A per doppi, e passante ancora sem- 

 plicemente per i 2r — 4 punti B. E qui possono darsi due casi : 



1° La curva generica f è irriduttibile ; 



2° La curva stessa si spezza; e in tal caso, non potendo spezzarsi in curve 

 di un determinato fascio (3), essa conterrà necessariamente una parte fissa. E questa 

 parte può essere costituita soltanto: 



a) Da un certo numero di rette uscenti dal punto P; 



b) Da una curva di un certo ordine h avente in P la multiplicità li — 1 (4). 

 Esaminando separatamente questi diversi casi — cosa che non presenta d'al- 

 tronde alcuna difficoltà — si trova che ciascuno di essi conduce effettivamente a 

 determinare sulla curva C delle serie gl'ili, ma prive tutte di punti fissi. Per non 

 dilungarci troppo, ci limitiamo ad accennare in nota il ragionamento (5). — La 



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(1) Il numero |li è la differenza da /• — 3 dell'ordine della direttrice minima della superficie in 

 discorso (ordine che è appunto < >■ — 3). Gir. ad es. Castelndovo : Sulle superficie algebriche ecc. 

 (" Rend. di Palermo „, IV). 



(2) La serie g'^^2ì ^ certo completa, essendo tale la fifgJlZie e quindi la p'g^Zig (v. pag. prec). 



(3) Perchè se no la gl^^^i risulterebbe composta mediante una serie lineare, di ordine < 8 se 

 r>5 e ^4, se r = f>; e di serie così fatte sulla curva C non ne esistono. (Per r^5 sarebbe anche 

 una g^ diversa da quella che fe segata dalle rette uscenti da P). 



(4) Non da una curva di ordine h avente in P la multiplicità h — 2, perchè se no la S'errai 

 dovrebbe risultare composta mediante la g^ segata dal fascio P. 



(5) Cominciamo col supporre che la curva generica V passante pel gruppo Gr2r-2 ^^^ irridut- 

 tibile. — È facile riconoscere che un sistema lineare 00 di curve di un ordine qualunque n avente 

 un punto (n — 2)'' ° e |i punti doppi basi non può avere ancora , se d ^ n — |a — 1 , più di 

 3 (» — fi) — {d-\- 1) punti basi semplici, e non più di 4 (» — |a) — 2 (rf + 1) se invece rf < » — n — 1; 

 ciò segue immediatamente dal fatto che la serie caratteristica del sistema (ossia la serie lineare segata 

 sopra una curva generica di questo stesso sistema dalle rimanenti curve di esso) è non speciale nel 

 primo caso, e speciale nel secondo (e quindi — fatta astrazione dai punti fissi — composta mediante 



la gì). Nel nostro caso si ha « = 2r — 5 -|- |u, d = 2ì 8 ; sicché i punti basi semplici non potranno 



essere in numero superiore a 



4 (2ì- — 5) — 2 (2r — 7) = ir — 6, 



e siccome tanti appunto ci sono già dati dai 2>- — 4 punti B e dal gruppo Gr2r— 2' '^°^^ ^ chiaro 

 che la S'érZ22 ^'^^ potrà avere in questo caso nessun punto fisso. 



Supponiamo ora che le curve T passanti pel gruppo (J^r— 2 contengano tutte una certa retta a 



