SOPRA LE COEVE DI DATO OUDIKE, ECC. 367 



serie glrZ% sulla curva C"'~* (supposta irriduttibile) non può avere dunque più di 

 tre punti fissi, e questo ci permette di concludere: 



Se nello spazio S, (r > 5) si ha un gruppo di 2r -)- 7 o più punti indipendenti e 

 tali che le quadrlche passanti per 2r -|- 3 qualunque fra essi passino sempre di conse- 

 guenza pei rimanenti, queste quadriche avranno certo a comune infiniti punti (e quindi 

 tutta una linea, passante per una parte almeno di quei primi punti). 



Ovvero anche: Se nello spazio S, (r ^ 5) si hanno k (> 2r -j- 4) punti indipendenti 

 e tali che le quadriche passanti per 2r -f- 3 qualunque fra essi passino sempre pei rima- 

 nenti — ma non per altri punti fissi — dovrà essere altresì k s 2r -)- 6 (1). 



20. Questi stessi risultati, uniti ad osservazioni precedenti, ci danno ancora: 

 Una curva (irriduttibile) appartenente a S, e di ordine superiore a 2r -|- 4 per la 

 quale passino ('7') — 2 quadriche indipendenti è sempre contenuta in una superficie 

 comune a queste stesse quadriche. Si può anche riconoscere facilmente che questa super- 

 ficie sarà di ordine < r -|- 1 (2); e sarà anzi (in generale) di ordine precisamente 



passante per P. Astraendo da questa, la curva residua variabile (che supponiamo irriduttibile) dovrà 

 essere di ordine 2r — 6-\- |u, colla multiplicità 2r — 8 -{-ix nel punto P, e coi soliti ^ punti doppi (A) 

 e 2r — 4 punti semplici (B) basi. Ma il sistema di queste curve non pub avere (v. sopra) più di ir — 10 

 punti basi semplici, e d'altra parte i punti B e il gruppo G!2r-2 ^^ danno già complessivamente 

 4r ■ — 6; quattro di questi punti (e precisamente del gruppo Gsr— 2) dovranno dunque stare sulla retta a 

 (ossia il gruppo d^r—'i dovrà contenere tutto un gruppo della gì); ma con tutto ciò la serie g'^r—22 

 non potrà avere ancora punti fissi. — Questo ragionamento suppone implicitamente che la retta a 

 non passi per nessuno dei punti A e B; ma se passasse anche per uno di questi, le considerazioni 

 stesse già esposte, con poche modificazioni, si potrebbero ancora ripetere e condurrebbero all'identica 

 conclusione. E un ragionamento analogo si potrebbe anche fare quando dalla curva generica T si 

 staccasse un numero maggiore qualsiasi di rette uscenti da P. 



Se infine la curva generica f contiene una parte fissa di un certo ordine h e colla multiplicità 

 7t — 1 nel punto P (parte ohe potrà essere ii-riduttibile, anche contenere a sua volta qualche retta 

 uscente da questo stesso punto) è chiaro ohe, astraendo da tutta questa parte, rimarrà un sistema 

 lineare di curve T di un certo ordine k = 2ì — .5 -|- M — ^ e colla multiplicità k — 1 nel punto P. 

 Questo sistema sarà di dimensione 2r — 8 e avrà (fuori di P) precisamente 



Al^ _ Hjc-ll _ .3^. + 8 = 2fc - 2. + 8 



punti basi semplici. Ma fra le intersezioni della sua curva generica T* colla C ne cadono nel punto P 

 sole {k — 1) (2r — 6 -|- 2|a); fuori di P dovranno dunque esservene 



k{2r — 2 + 2|a) — (fc — 1) (2>- — 6 +- 2fi) = 4/c + 2r — 6 + 2n 



Ammesso perciò (ed è il caso più sfavorevole) ohe fra quei 2k — 2r -\- 8 punti vi siano tutti |u i 

 punti A e ohe i rimanenti siano anche tutti punti B, è chiaro che da questi stessi punti potranno 

 essere assorbite soltanto 



4fi + 2 (2;fc — 2r + 8 — n) = 4^ — 4?- + 16 — 2|i 



di quelle intersezioni, e perciò certo 6j' — 22 fra esse cadranno fuori dei punti basi del sistema 

 delle T* e saranno quindi tutte variabili. Questo caso più sfavorevole ò anzi il solo ohe possa presen- 

 tarsi (quando si voglia ottenere una 5'6r~22)! ™^ ^^so ci conduce ancora a una serie priva di 

 punti fissi. 



(1) Il valore massimo /fc = 2r-(-6 può essere però raggiunto; e se ne ha un esempio nel gruppo 

 generale delle intersezioni di una quadrica con una curva (normale) di. ordine r -^- S e genere 3. 

 Così pure, nell'ultimo enunciato del n" 10, può essere anche k^2r-\- 4. 



(2) E quindi di ordine < r -f- 2 la linea considerata nel penultimo enunciato del n°. preoed. 



