SOPRA LE CDR¥E DI DATO ORDINE, ECC. £G9 



Acato staranno in generale, se r > 11, sopra almeno ('i') — 1 quadriche indipendenti, 

 e anzi precisamente sopra ('i"') tali, ancorché non abbiano 1' ordine superiore a 

 (A,. + 2)(/--l) + l. 



§ 8. 



Sulle curve di genere rr — 2. 



32. I risultati ottenuti nel § precedente si applicano in particolare alle curve 

 di genere n — 2, per le quali, come sappiamo, passano sempre almeno ('j') — 2 

 quadriche indipendenti (e ne passano anzi certo almeno ('t') — 1 se l'ordine è supe- 

 riore a 3r — 2, e (%') se è superiore a àr — 3; condizioni queste, s'intende,, solo 

 sufficienti). — Daremo ora un cenno su queste curve di genere rt — 2 (come già si 

 è fatto per quelle di genere tt — 1) ; ma proponendoci di tenere, nei limiti del pos- 

 sibile, la massima brevità. 



E cominciamo colle curve di ordine inferiore a 3r — 1, quindi del tipo C^|^! ^ 

 (supposto anche qui < i < r — 1) (1). Esse contengono per i > 2 — come residua 

 della g^r+i segata dagli iperpiani — ■ una glr-i, e di ciò avremo a valerci in seguito. 

 Fra queste curve, come si vede facilmente, possono stare sul cono normale ellittico 

 soltanto quelle di ordine 2r -f- 1 (m = 2, s=^z = l) e 2r + 2 (»j:=s^=2, z=^0); 

 e sul cono normale di genere due soltanto quelle di ordine 2r-\-8{m=-2, s^=l, z = 0){2). 



33. Facendo » = 1 , abbiamo curve del tipo C^^\ e queste sono certo non 

 speciali. Possono stare, come abbiamo veduto or ora, sul cono normale ellittico (3). 



Per i = 2 {r > 3) abbiamo delle C^^^, che si possono tutte ottenere come proie- 

 zioni delle curve canoniche C^^ di S^_^^ rispet". da loro corde. Non hanno in gene- 

 rale punti doppi, perchè se no dovrebbero contenere almeno una gì, il che, in 

 generale appunto, per r -[- 3 > 6 ossia r > 3 non si verifica. 



Per i = 3 (r > 4) abbiamo curve C^;;^^ contenenti una gì. E qui ci converrà 

 distinguere vari casi: (4) 



a) Curve con due punti doppi: Stanno tutte sulla rigata R''"^ e ne incontrano 

 ogni generatrice in tre punti. Solo la C" di Ss può incontrar.© s|ueste stesse rette 

 in quattro (anziché in tre) punti. *' 



(1) Anche queste curve (come quelle di genere tt — 1 considerate nel § 6) sono tutte normali. 



(2) Per il significato di queste varie lettere cfr. n" 13. 



(3) Sono di questo tipo anche le curve di ordine 2r -\- 1 che stanno sul cono razionale normale 

 di ordine ;• — le hanno nel suo vertice un punto triplo (v. C. Segre : Recherches générales etc, I ; 

 "Math. Ann. ,, XXX). 



(4) Possiamo supporre che la g\ non abbia punti fissi, perchè se no la Gj^^ si potrebbe 

 ottenere come proiezione di una C,.!^ di Sr-i-i (che è di genere ir — 1, "e quindi da noi già stu- 

 diata). Questo caso si presenta anche quando la C '""'" sta sul cono normale di genere due. 



Serie II. Tom. XLIV. v' 



