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b) Curve con un (solo) punto doppio: Per ciascuno dei valori r = 5, 6, 7, 8, 9, 

 abbiamo una C^[^^ contenuta in una F' razionale a sezioni ellittiche (di prima specie, 

 per r :;= 8); e di più, per r = 6, una Cu che sta sulla rigata R^ e ne incontra ogni 

 generatrice in 4 punti (1). 



e) Curve prive di punti doppi: In queste curve i gruppi della gì non sono mai 

 collineari; possono però stare in piani per r < 11 (e in questo caso vi sono preci- 

 samente 11 — r gruppi con una terna di punti collineari). La nostra curva è allora 

 contenuta in una superficie di ordine r -\- 1 comune a tutte le quadriche passanti 

 per essa; e la stessa superficie sarà anche luogo delle coniche determinate dai sin- 

 goli gruppi della gì, delle quali 11 — r si spezzeranno (naturalmente) in coppie di 

 rette (2). — Infine i singoli gruppi della serie gì possono appartenere a spazi S3 (non 

 però a S4). Applicando a questo caso un ragionamento analogo a quello già tenuto 

 in altra occasione (v. n° 16), si trova che queste curve stanno allora (in generale) 

 in una superficie contenente una co' razionale di quartiche ellittiche, e di ordine 



12(?-— 1) 

 non superiore a — ^^-r . 



24. Sia ora i = 4; r > 5. Avremo curve del tipo C^*^; e queste contengono 

 una gì, che possiamo anche supporre priva di punti fissi. 

 a) Questa serie gì può essere composta: 



a) Con una serie co' di coppie di punti di genere k < 3. Questo è possibile 

 solo per A; = 3 ; e si ha così una curva di ordine 2r -[- 4 (priva di punti doppi) che 

 è r intersezione generale di un cono normale di ordine r -|- 2 e genere 8 con una 

 quadrica (non passante pel suo vertice); 



P) Con una serie lineare g\. I gruppi di questa possono essere collineari nei 

 tre casi di r = 6, 7, 8 ; e troviamo così delle curve contenute rispett. nelle rigate 

 razionali normali R°, R", R''. In ogni altro caso i gruppi della g\ dovranno apparte- 

 nere ad altrettanti piani ; e la curva C^^ starà su di una superfìcie razionale nor- 

 male di ordine (in generale) — ^ — -^-^ — , a sezioni iperellittiche di genere ~ 



r— 1 



; e si potrà segare su questa stessa superficie con una quadrica condotta per 



— ^ — — p — sue coniche. L'ordine della superfìcie, il genere delle sue sezioni, e il 



numero di queste coniche possono però abbassarsi fino ai limiti rispettivi r -|- 2, 3, 0, 

 e in quest'ultimo caso la superficie può anche essere un cono (iperellittico) — il che 

 rientra nel caso a) — . Per r < 11 l'ordine della superficie può anche ridursi a r -|- 1, 

 e può ridursi anche ad r per r < 9, e a quattro per r = 5; in questi casi però la 

 superficie stessa risulta comune a tutte le quadriche passanti per la curva proposta. 



(1) Quest'ultima curva — e così pure la Cjo di S5 di cui all'ai, a) — contengono evidentemente 

 una g^ e quindi infinite gc, con un punto fisso; ma contengono pure rispett. due ed una g^ prive di 

 punti così fatti. 



(2) E questo va d'accordo perfettamente con un risultato già ottenuto dal Castelnuovo (Sulle 

 superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve iperellittiche, n" 5). 



