SOPRA LE CURVE DI DATO ORDINE, ECC. 371 



b] Se la gs non è composta (e non ha punti fissi) la C^[r'^ sarà riferibile a una 

 C piana. Questo esige naturalmente r -|- 7 < 21, ossia /• s 14; e si hanno così vari 

 casi semplicissimi, che saranno poi enumerati, alla fine di questo §, nella relativa 

 tabella. 



25. Per A < i < r — 1 , sappiamo già che la curva C^^J^j deve stare su di 

 una superficie (razionale) di ordine r — 1, r, or-)-l e colle sezioni di genere 

 rispett. 0, 1, 2, comune a tutte le quadriche che la contengono. Si potrebbe però 

 ritrovare questo per altra via e fare nel tempo stesso un'enumerazione dei vari casi 

 che queste curve possono presentare, partendo dalla considerazione della serie g'^'It 

 su di esse. Basterebbe perciò osservare che questa serie non può essere in alcun 

 modo composta (e ciò per ragioni analoghe a quelle già esposte al n° 17 per la 

 serie glTli); ma può essere costituita da una glìls , composta con una gì , pivi due punti 

 fissi, anche da una gl'I^ non composta e alla quale si sia aggiunto un punto fisso. 

 Esclusi questi due casi che danno luogo a curve proiezioni di altre già studiate, 

 la *^r+2v-i dovrà sempre essere riferibile a una G^'^* (semplice) di Si_2. E questo per 

 i = 5 i = 6 richiede r s 11 ; per i > Q, r s i-\- 4. — Lo studio ulteriore di queste 

 curve non presenta del resto alcuna difficoltà, e perciò appunto ci limitiamo ad 

 enumerarle alla fine di questo §. 



26. Le curve di S, di genere n — 2 e di ordine « 5r 3r — 1 stanno, come già 

 si è detto, sopra almeno Ci') — 1 quadriche indipendenti, e quindi su di una super- 

 ficie (normale) di ordine r o r — 1 comune a tutte queste quadriche (almeno se r > 3). 

 E questo varrà in particolare per le curve di ordine =3r — 1. Del resto, se anche 

 non lo sapessimo, basterebbe osservare che queste curve contengono tutte (come 

 residua della glr-i segata dagli iperpiani) una ^37^5 che non può essere in alcun modo 

 composta. Prescindendo perciò dal caso in cui questa serie abbia un punto fisso — 

 e la nostra curva sia quindi proiezione di una Cll-^ di S^+i (di genere ir) — è chiaro 

 che la Clr-ì dovrà sempre essere riferibile a una G^""^ (semplice) di S^-t. Questa 

 curva (che è pure di genere n — 2, e corrisponde precisamente al tipo C^^:|;^ di Sj) 

 sta sempre sulla rigata razionale normale (R'"') del suo spazio, — o anche, per r = 7, 

 sulla superficie di Veronese (1) — . Da questo e dalle note proprietà delle curve trac- 

 ciate sulle rigate razionali normali (v. § 3) si può dedurre senza alcuna difficoltà che: 



In ogni spazio S,. esiste una ClJi^à che sta (per r > 3) sulla rigata R'"', e ne 

 incontra ogni generatrice in tì-e in quattro punti (o, in casi particolari, anche in 

 cinque) ; 



Nello spazio S5 esiste anche una C}! (con due punti doppi) contenuta in una 

 superficie di Veronese; 



E infine, per tutti i valori di r inferiori a 9, si hanno ancora delle curve 

 Gllz\ giacenti sulle superficie razionali di ordine r a sezioni ellittiche (di 1" specie 

 per r ^ 8). 



(1) Questo, per ora, lo ammettiamo, riservandoci di dimostrarlo fra poco (v. n' 28 e 29). 



