SOPRA LE CURVE DI DATO ORDIKE, ECC. 373 



88. Dimostreremo ora che le curve di genere tt — 2 appartenenti a S„ quando 

 l'ordine loro n è superiore a 3r stanno sempre sulla rigata R'~^ o sulla superficie 

 di Veronese. 



Queste curve, per n > 3?-, non possono stare infatti sul cono ellittico; già la 

 curva di ordine 3r -)- 1 (passante semplicemente pel vertice di tale cono) è di ge- 

 nere soltanto TT — 3, e le successive sarebbero di genere ancora inferiore a ir — 3. 

 Rimane dunque solo da verificare se, per r £ 9, queste stesse curve possano stare 

 sulle superficie razionali normali di ordine r. 



E si vede facilmente di no. Infatti, indicando con ??? l'ordine della curva piana 

 cui verrebbe riferita la C" nella solita rappresentazione della superficie, e supposto 

 che questa t°' abbia negli « = 9 — r punti fondamentali (escludiamo la F* di seconda 



specie) rispett. le multiplicità Vi, v^, , f,, sarà n = dm — Tv; e pei'ciò, se vogliamo 



che il genere p della curva C sia precisamente uguale a tt — k, dovrà essere 



j, > (Bm~Zv — r) (3w — Sk — 1) t. /-|i 



Ma d'altra parte abbiamo pure 



p < ("'-lH>>^-2) _ i (-.). 



Quindi, a fortiori: 



(Bm — lv — r) (3ot — I?;— 1) , ^ /m_u -r- (u\ 



2 (,. _ j) k ^ (,) - i. (,). 



Risolvendo ora questa disuguaglianza rispetto a m, e determinando (il che non 

 offre difficoltà) il limite superiore del secondo membro, si trova alla fine 



m < 3 4- 4 \/k + 1. 



Ossia : Se sopra una superficie razionale normale a sezioni ellittiche (esclusa la F* 

 di 2^ specie) si ha una curva di genere tt — k , l'ordine m della sua rappresentante 

 ■piana nella solita rappresentazione della superficie non può superare il limite 3 + 4 |/k+T.' 



In particolare, le curve di genere tt — 2 devono avere rappresentanti piane di or- 

 dine non superiore a 9 (2). 



Ciò posto, ne segue senz'altro la verità del nostro asserto, perchè già le curve 

 ^t,^ (ad es. la OH di Sg) — e a fortiori le successive — dovrebbero avere le rap- 

 presentanti piane di ordine > 10. 



(1) La frazione che compare al secondo membro è infatti il valor minimo che può avere il 

 genere tt corrispondente all'ordine n = Bm — Zv (e questo valore lo si ha appunto quando "~!|' 

 fe intero e quindi = x). 



(2) Per le curve di genere ti — 1 si avrebbe m< 8; e questo è confermato dai risultati otte- 

 nuti nel § 6. 



