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Un ragionamento affatto analogo si potrebbe applicare alla F* di 2=» specie; ma 

 per brevità lo omettiamo. 



29. Possiamo però anche giungere allo stesso risultato per altra via, mediante 

 considerazioni sopra serie lineari. Supponiamo infatti che per una curva C^ri!,, , j 

 (e sono di questo tipo appunto — per < ì < r — 2 — quelle che ora dobbiamo 

 considerare) (1) passino soltanto Cj') — 1 quadriche indipendenti. Il sistema di tutte 

 le quadriche di S, segherà allora sopra questa curva una gl^^_oi ; e siccome la serie 

 canonica è in questo caso una gl'f^^l , è chiaro che la stessa curva dovrà anche con- 

 tenere, come residua di quella prima serie, una g\^. Faremo vedere che una tal serie 

 essa non può contenerla, a meno di non stare sulla rigata R""', — il che sarebbe 

 contrario alle nostre ipotesi — . 



La curva proposta non potrà infatti riferirsi a una C^' di S, , perchè quest'ultima 

 avrebbe per genere massimo 21 se i = 2, 25 se «=^3, e 6(« -{- 1) se i > 4; do- 

 vrebbero dunque verificarsi in questi casi rispett. le relazioni 



Sr -\- 7 < 21 ossia r < 4 , se i ^ 2 



3r + 10 < 25 „ r < 5 , se i = 3 



3r + 3i + 1 < 6J + 6 „ r < i + 1, se i > 4 



le quali sono invece tutte incompatibili coll'ipotesi fatta i < r — 2 ossia r > i-\-2. 



La g\, non può nemmeno essere composta mediante una serie oo^ di coppie di 

 punti (di genere < «-)- 1), ne mediante una serie di terne di punti (se i è multiplo 

 di tre), ne infine con una g\ (lineare) i cui gruppi appartengano ad altrettanti piani, 

 perchè sempre l'applicazione della formola del sig. Segee condurrebbe ad un risul- 

 tato assurdo (si troverebbe cioè che la nostra curva, che abbiamo supposta appar- 

 tenere ad S,, dovrebbe stare sopra una rigata di ordine <r — 1, o su di una M3 

 di ordine <r — 2). Né la g\, può avere qualche punto fisso, perchè, se ne avesse 

 ad es. un certo numero k, astraendo da questi, rimarrebbe una g\,-ì,, che dovrebbe 

 essere rappresentabile mediante una C*'~' di S, , oppure composta mediante una 

 serie 00^ di coppie terne di punti ; ipotesi tutte che conducono agli stessi risultati 

 assurdi di prima. 



Rimane dunque la sola ipotesi che la g\i sia composta mediante una g\ coi gruppi 

 collineari. Ma allora le rette contenenti questi singoli gruppi dovrebbero formare una 

 rigata razionale normale (di ordine r — 1), e perciò la curva dovrebbe stare sopra ('j') 

 quadriche indipendenti, mentre abbiamo supposto che stesse sopra sole Ci') — 1. 

 È dunque in ogni caso assurda quest'ultima ipotesi; e possiamo perciò asserire che: 



Ogni curva appartenente a S, (r > 2) la quale sia di genere n — 2 e di ordine n > 3r 

 sta su di una superfìcie razionale normale di ordine r — 1 (comune a tutte le qua- 

 driche che la contengono). 



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(1) Se fosse i^ r — 2, l'ordine della nostra curva risulterebbe ^ 4r — 2, e in questo caso sap- 

 piamo già ohe la proposizione ohe qui vogliamo dimostrare è vera. 



