392 GALILEO FERRARIS 



Per dimostrare la prima di queste uguaglianze, del resto notissime, basta osser- 

 vare che se si dice Y l'angolo tra A ed uno dei vettori h, si ha: 



èZa cos cp = èA cos v, 

 quindi "Lab cos cp == ZèA cos ip == AZè cos vp. 



Ma Zè cos ip =: B cos 4), dunque 



Zaè cos cp = AB cos O. 



La seconda eguaglianza, ossia la Zaè sen qp = AB sen (t>, si dimostra in modo 

 analogo. 



12. — In secondo luogo conviene vedere quali sieno i valori medii dei prodotti 

 a b cos qp ed cf è sen cp quando i vettori a b sono delle specie di cui noi qui ci occu- 

 piamo, quando cioè essi sono vettori rotanti o vettori alternativi. E qui si hanno 

 piti casi. 



1° Caso. — Se i due vettori a e b sono vettori rotanti nel medesimo piano, colla 

 medesima frequenza e nel medesimo verso, l'angolo cp compreso fra i medesimi ri- 

 mane costante : esso è uguale al valore angolare della differenza di fase de' due vet- 

 tori. Siccome, per la definizione di vettore rotante da noi adottata, anche a q b sono 

 costanti, così i prodotti a b cos qp, a è sen cp sono indipendenti dal tempo. 



2° Caso. — Se a e è sono ancora vettori rotanti in un medesimo piano, ma con 

 frequenze diverse n ed m, l'angolo cp compreso fra di essi passa in ogni unità di 



tempo n — m volte da a 2tt, ossia varia tra e 2n nel tempo . Il valore medio 



^ '■ n — m 



di cos 9 e di sen qp durante tale tempo è uguale a zero, ed è perciò uguale a zero 

 anche il valore medio dei prodotti considerati. 



3° Caso. — Un caso particolare compreso in quello or ora considerato è quello 

 di due vettori rotanti in versi opposti: se sono w ed m le frequenze dei due vettori 



rotanti , l'angolo qp varia tra e 2 tt nel tempo , e durante questo tempo i 



valori medii di a è cos cp, e di aèsenqp sono uguali a zero. 



4° Caso. — Un altro caso particolare è quello in cui a è un vettore rotante e 

 b un vettore fisso di grandezza costante. Questo caso si riduce ai precedenti facendo 

 semplicemente m = 0. Anche in questo caso i medii prodotti sono uguali a zero. 



5° Caso. — Se a è un vettore alternativo di direzione fissa e è è un vettore 

 rotatorio, possiamo immaginare a scomposto in due vettori uguali rotanti in versi 

 opposti, (^ ed s, e valendoci del teorema ricordato all'articolo precedente (11), porre: 



ab cos cp = (^. è cos ò -f- s. è cos cf, 

 ab sen qp = c^. 6 sen ò -\- s.b sen a, 



ove ò & (5 rappresentano gli angoli che nell'istante considerato b fa con d e con s. 

 Così siamo ricondotti ai casi precedenti. 



Se a e è hanno frequenze diverse, tanto i prodotti d b cos ò, db sen b quanto i 

 prodotti s b cos cr, s è sen G hanno valori medii uguali a zero ; quindi sono uguali a 

 zero anche i medii di aècosqp, e di aè sen qp. 





