DN METODO PER LA. TRATTAZIONE DEI VETTORI ROTANTI OD ALTERNATIVI 393 



Se a e b hanno una medesima frequenza, solamente i prodotti d b cos b, db sen ò, 

 oppure solamente s b cos a, sb sen a sono nulli ; gli altri due sono diversi da zero 

 e sono costanti. Se, per esempio, 5 è un vettore rotante verso destra i prodotti s b cos (T, 

 s b sen G hanno un valore medio uguale a zero, ed i prodotti d b cos ò, db sen ò sono 

 costanti. Si ha perciò semplicemente: 



medio di ab cos (^ = db cos ò, 



medio ài ab sen (p ^= db sen ò. 



A 

 Se si rappresenta con A l'ampiezza del vettore alternativo , si ha e? = -g, e 



quindi 



medio di ab cos cp = -^ Aè cos b, 



medio di ab sen cp = -— - Aè sen ò. 



Se si prende come origine del tempo l'istante in cui a ha il valore massimo A, 

 l'angolo b, che figura in queste espressioni, è il valore angolare della differenza di 

 fase tra a e b. 



6° Caso. — Se finalmente a e b sono due vettori alternativi di uguale frequenza, 

 noi consideriamo il primo come risultante di due vettori rotanti d ed s ed il secondo 

 come risultante di due altri vettori rotanti d' ed s'. In grazia della proposizione dimo- 

 strata all'art. 11, i prodotti a è cos cp, a è sen cp sono in ogni istante uguali alla 

 somma di quelli che si hanno colle combinazioni d d', d s\ s d', ss'-. Ma, in grazia di 

 ciò che si è detto dianzi trattando il caso 3°, i valori medii dei prodotti corrispon- 

 denti alla seconda ed alla terza combinazione sono uguali a zero; dunque, se di- 

 ciamo b l'angolo costante tra d e d' e a l'angolo costante tra s ed s', abbiamo: 



medio di a è cos cp = dd' cos b -|- ss' cos a, 

 medio di ab sen cp =^ dd' sen b -\- ss' sen a. 



Se diciamo A e B le ampiezze dei due vettori alternativi dati, e se notiamo che 



d = s = ^, e d' = s' ^ ^, 

 possiamo scrivere anche : 



A R 



medio ab cos cp = -j- (cos b -|- cos a), 



A R 



e medio ab sen cp =; — (sen b -|- sen a). 



Se poi, dicendo a e p le fasi di a e è, notiamo che 



b = (p-|-p — a, e cr = cp — p-j-a, 

 possiamo scrivere ancora : 



medio ab cos cp = -— cos cp. cos (P — a), 



medio ab sen cp = — - sen cp. cos (p — a). 

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