62 DIMOSTRAZIONE d'unA FORMOLA DI LEIBNIZIO E I.AGRANGE , ECC. 



alle lezioni di Jacobi (^Sitzungsberichte , torti. XLVII , pag. l'^^-i'jS); 

 ma veramente si trova pubblicata e citata in più luoghi (i). Ho ampliata 

 questa formola in modo simile a quello con cui Pfaff ampliò la formola 

 di Leibnizio, e l'ho stesa come la precedente al caso degl'integrali. 



Si vedrà che il metodo usato riduce la formola di Leibnizio e quella 

 rammentata dal Winckler alla serie di Taylor, e riduce le altre alla 

 serie che porta il nome di Lagrange, e che si legge nelle Memorie 

 dell'Accademia di Berlino pel 1768, pag. 2^5. Espongo anche una 

 dimostrazione nuova e semplice di questa serie. 



Dimostro pure un'altra formola di Pfaff, e indico il modo di ren- 

 derla più generale. 



Da ultimo accenno come il teorema sopra indicato permetta di ap- 

 plicare le formolo dimostrate al caso d'integrali d'indice fratto (positivo). 



Tali sono gli argomenti trattali nella breve Memoria che sottometto 

 al giudizio dell'Accademia. 



La formola simbolica d"'uv = (du-ìrdi,>)"'' nel caso di m negativo, 

 cambiando m in — ìti e facendo uz=:f{cc)dx"' , v = ffl(x), diviene 



ove gli esponenti della lettera indicano il numero delle integrazioni 

 successive. Prendiamo la variabile ce tra i limiti a eà x , e ricordiamo 

 la formola generale 



y{x) dx"= ^^^^ '^^^ _ I ) I (^ — ^)"~'/(^) dz , 



nel cui primo membro intendiamo rappresentato un integrale dell'or- 

 dine 71 : per mezzo di questa formola si trasformerà la serie precedente in 



(1) Journal de Liounlle, lom. VI, pag. 212, a. 1841 ; Cmlle, tom. 54, pag. 230, a. 1857, e tom. 55 

 pag. 305, a. 1858; Moigno, Calcul des varialions (Parigi, 1861), pag. 175. 



