68 DIMOSTRAZIONE d'uNA FORMOLA DI LEIBNIZIO E LAGRAKGE , ECC. 



^"+'(rt_H.e(a? — a))f (x — z)'"+" 



1.3. ..(ni l) Jl.2...(M-t-I 



"'T.t'.'.;;:i"T''^ ^"'(°^^'"---')Fw-^ 



IT. 



Possiamo ampliare la formola precedente prendendo tre funzioni 

 p, q, u ài X, e ponendo 



1 j ,„ I 7 m ™l "^/'j m+, m(m-\-i)[ d{udp) 

 pUdx-=\pqdx-^-^q-j^dx --H_^-_^^^-L_^./x— 



7« (7?i -+- I ) (to -t- 2) I d^(u^dp) - „^, 

 H ^ '} , ' I O \ J ' c?.T"'-^'-t- ecc. 



2.3 



dx^ 



Se intendasi camìjiato j: in s nelle espressioni delie funzioni p^ q, u, 

 e si applichi una formola più volte citata, si ridurrà il secondo membro 

 alla serie 



-^ \q{x — z)"'~' 



udp X — z diu'dp') Ix — 



dz Ug 1 . 2dz^ \ 



d''{u^dp) ìx — 

 I .i.'Òdz- 



ir) 



(^) 



dz 



ove abbiam denotato il valor primitivo di u con u^. Si faccia p:^F{z), 



t= , u=f(z), e però Uo=f{x): avremo x^=z-^tf{x), e mercè 



il teorema di Lagrange otterremo F(x) per somma della serie dianzi 

 scritta fra parentesi , onde quel secondo membro diverrà 



1.2... {in — I ) 



F{x 



)\q{x — 



z)"" ^dz , 



ossia pXqdx"'^ e sarà così uguale al primo. 



La nuova formola vale adunque se il teorema di Lagrange sia ap- 

 plicabile. 



