DI A. GENOCCHI. 6g 



La medesima ampliazione della formola rammentata dal sig. Winckler 

 sussiste eziandio per gì' indici positivi , e può dimostrarsi con un ra- 

 ziocinio simile a quello ch'egli stesso ha usato. 



La formola che vogliamo dimostrare è la seguente : 



7, )„, "* 7m 1/ 7 \ m(m — i) , , ^ , 



pa"'q^:a"\pq d'"~ (cjudp)-\ ^^ r-^a ^[qd.u dp) 



m(m — i)(m — 2) ,„ , . ,^ , , , ^ i ,„, . ^ . ^ 

 1.2.3»^ '^ (1^^ -i^'dp)-^.. . zìz — qd—'{u-dp) . 



Ora generalmente — ' è il coefficiente di in (p(x-i-h), 



° dx i .2. . .n ^ ^ ' 



ossia il coefficiente di in -, r-^ — — r ffi(^-l-A) : quindi 



\.i...m {n-\-i)[n-{-2). . .m^^ '' ^ 



/ \ / \ ^ d''-'{ii"dp) 

 se poniamo 9^ {x) =y9 q , e (p„ [x) = -^ — ^— ^-^ q , e lormiamo 



il polinomio 



,p^(jc-hh) — jjX^-^h)-^-,(p^{x-^h)—.. .^^<p,„{x-hh) , 



il coefficiente di in questo polinomio eguaglierà il secondo 



membro della formola da dimostrarsi diviso per dx"^. Al medesimo 

 polinomio potremo aggiungere indefinitamente i termini 



poiché non contengono la potenza h"' ; e poscia cambiato x-ìrh in z 

 e h in z — x, ovvero sostituito come dianzi z ad x in p, q, u, avremo 

 la serie 



[udp 3C—Z diudpSIx—z^ d'iu^dp) [ x—z\} 1 , / \ x-,/ \ 

 p-\ — T^ 1- ^ / H- ^ ^yA -4-... =(f(z F(j? , 



se sia qui p=:F(z) , q=.'li{z). Ma il coefficiente di 



1 . 2 ... in 



'p{z)F(x)=:F(x)^(x-i-h) sarà F{x) , ^ • dunque il secondo membro 

 della formola proposta eguaglierà effettivamente il primo membro pd"'q. 



