■ 'JO DIMOSTRAZIONE DUNA FORMOLA DI LEIBNIZIO E LAGRANGE, ECC. 



VI. 



Questo teorema si può dimostrare senza far uso di serie infinite. 

 E facile vedere , che eeneralmente — , V ' eguaglia il valore di 



s d"'.h"'-''(p{x-hh) , 1 • j- 



; r-, r tj-t, nel caso di h = o , e che auindi 



{n-^i){Ti-i-2) . . .m dh"'- ' ^ 



dovremo trovare nel caso di 7i=o il valore della derivata ni"'"" presa 



rispetto ad h del polinomio 



(B„(x-\-h) ©_ (j: -t- /z) H — ^(p^(x-i-h) — . . .z±: —^(p,„{x-hh) 



già poc'anzi considerato, e che chiameremo X. Supponendo p = F{x-^h), 

 fl:=di{x-i-h) , uz=zf{a:-\-h) , u^=f(pc), e facendo 



h udì) li" d{ii^dp) h"^ d"'~'(u'"dp) 



' u^ dx u^ i.D.dx^ '' u"'^ i.:ì. . .mdx"^ ' 



dV d^'V 

 avremo X-=.qV. Ora formando le derivate —rr-, -ttt , • • • > si troverà 

 ' dh dh 



che sono nulle per h-=.o\ ma dobbiamo dimostrare generalmente che 

 questa proprietà sussiste sino alla derivata dell'ordine m"""'. A tal fine 

 basterà provar ciò per la derivata m^'""^ se m si lascia indeterminata, 

 poiché il polinomio J^ si può sempre ridurre ai termini non moltiplicati 

 per una potenza di h, superiore in grado all'ordine della derivata che 

 si deve prendere , dovendosi fare h = o dopo le differenziazioni. Inoltre 

 essendo u e p funzioni di x-^-h, le derivate prese rispetto ad x sa- 

 ranno identiche a quelle che si prendano rispetto ad A, e il termine 



1 ir;r ■ , h" d''~' (u" d p) ,.„ 

 generale di f^ si potrà rappresentare con ± — ^^ jj-; diiieren- 



ziando m volte rispetto ad h, e trascurando i termini che avranno 

 ancora h per fattore, si avrà da considerare come dedotto da questo 

 termine generale soltanto il termine 



m(m — i). . .(m — /i-hi) , - i d'"~'(u"dp) 



zìz — ^ ^^ ^ n in — i). . .2 . I ^^ f/- y- 



1.2 .. .n ^ ' u \ .2 . . .11 dh 



