DI A. GENOCCHI. 



m{m — i)...{m — rH-i) r d"'~' (u"dp) 

 i . 2 . . .n u" dh"^ 



Quindi potremo ridurre ,^ alla espressione 



d'^p ni d'"~'{icdp) m{?n — i) d'^~' {udp) 

 dh'^ u^' dh"^ i.2uj' ' dh"^ 



m(m — i)('w — 2) d"'^~^ (it^dp) 1 d'^~' {ii'"dp 



i.2.3m^ dh"^ "' m"' dh' 



che uguaglia 



dp I u 

 dh \ u^ 



d'^p d"^ ' \dp I IL m(in — 1) u 

 dh'" dh" 



d'"p d"^ ' \dp 



dh'" dh'"~^ ) dh 



ossia semplicemente 



h('-^)1|' 



dx 

 dh'"-' 



e questa derivata evidentemente è nulla nel caso di h = o , essendo 

 allora u-^u^. 



Jtìi V 



Adunque annullandosi tutte le derivate di p^ fino alla m'""", ,,^ si 



ridurrà a V ^j— ossia a Flx) — , , perchè allora F" si riduce al 



da'" ^ ' dx ' 



valore di p ossia F{x) e q a. ^{x). E così risulta ancora il secondo 



membro della formola proposta eguale al primo. 



VII. 



Dimostrerò la formola di Pfaff (§11) per gl'indici positivi. 



Sia p=F(x), q=f[x), u=<^(x), i= ^ . , ovvero z=x-i-t<p(z): 



!f (Z) 



potremo considerare z come funzione di due variabili indipendenti t e x, 

 e chiamando cp(z) una data funzione di z, avremo generalmente le 

 seguenti equazioni : 



