DI A. GENOCCHI. 73 



Prendendo p-=.e'"' , q=ie'"' , u=.e'"' , troveremo 

 (a-»-^)"' = ^.- + ffifl(é — A-)"'--4- "'^"'~'^ a(^-|-2A)(6 — 2^-)"— 

 -f-"'^"'~'^^^'"~^^^<(flH-3Af(Z; — 3A)"-^-t-...H-a(aH-n?A-)"- . 



Questa formola fu data da Abel (OEuvres , tom. I^'^ pag. Si-Sa); 



e però è compresa come caso particolare in quella di Pfaff. 



Prendiamo p-=.x'^, q^=^x'' , uz=.x'': rappresentando generalmente 



, , ., ce ■ . ^ ■ 1 a(a — i)...{a — n-¥-i) . 



con («)„ u coeiticiente Lmomiale , troveremo pure 



^ ' 1 . 2 . . . ?^ 



(fl-l-è)„ = (è)„,-f-(a),(è — A-)„,_,-H^(a),(a-H2A-.i).(Zi— 2A-)„._, 



-t--(rt),(ù!-H3A- — 1)^(6 — 3A),„_3-H...H — (rt)_(rt-t-7«A— i),„_, . 



Le stesse conseguenze si possono dedurre anche dalla formola del § V. 

 Il teorema di Pfaff si può ampliare ad un prodotto di più di due 

 fattori, come quello del Leibniz : scrivendo 



d"" -pq . . .t = [dp-k-dq-\- . . .-^dt)"' , 



si potrà j svolto il secondo membro, cambiare {dp)" in d"~' {u"dp) 

 e simdi, salvo un fattore t, rispetto al quale si cambierà {dty'~" in 



(/'"~" ( "~;r ) • ^^ò risulta dalla dimostrazione data. 



Quindi si possono ampliare anche la formola di Abel e l'altra 

 dianzi ottenuta : così dopo avere svolta nel modo ordinario la potenza 

 (tìH-è-H. . .-4-A)'", si potrà scrivere generalmente a{a-{-nk)"~' in luogo 

 di a", b{b-\-nk)''~' in luogo di b", e similmente per le altre lettere, eccetto 

 una A, rispetto a cui in luogo di h"'~" si scriverà (A — nk)'^~" . 



Serie II. Tom. XXVL 



