74 DIMOSTRAZIONE DONA FORMOLA DI LEIBNIZIO E LAGRANGE j ECC. 



Vili. 



Citerò un altro teorema dovuto a Pfaff. Posto 

 S = d'\' d'u — md'^ [ — ]d'(uw)-^ d'' l — = ) d'(ii w^ ) 



\TV/ ^ ' 1.2 \W / ^ ' 



Pfaff dimostrò in modo semplice che iS è :=: o ogniqualvolta sia 

 '«>/'-4-5 [Disquis. anal. , Helmstadt l'jg'y, pag. 248)- Eccone un'altra 

 dimostrazione. 



Si considerino v e u come funzioni l'uno di x , l'altro di j, suppo- 

 nendo X e j variabili independenti, e prese altre due quantità p e q , 

 luna funzione di x, l'altra funzione di y, si formi l'espressione 



S' = d''vd'u — md''i -r\d'{uq)-{ ' d''l—Ad'{uq^) 



m(m — i){m — 2) ,r/ '^ \ ,,/ ,s jr/ ^ \ n/ m\ 

 '—r±3 -^ {p)d^Hn + ...^d i^-jd^{uq-) : 



questa potrà più concisamente rappresentarsi con 



iS = a ^.dWvu[ I — ìn--\ ^^ -' --ni — . . . ± -^. ) 



L \ P 1.2 p p /\ 



Ora se si differenzia un numero di volte minore di m, il prodotto 

 ^'iili — -I , è chiaro che ogni termine avrà sempre per fattore il 



binomio i — - e quindi si annidlerà se p=q- Dunque nel caso di 



r-^s<Zm si annullerà S' quando sia pz=q. 



Ciò posto si attribuisca alle due variabili x e j wn medesimo valor 

 particolare t, e facendo w=z(f[t) si prenda yw^(jp(x) e q = (p(ij), avremo 

 per un tal valore p=q = w, e così S'=o . Ma nel medesimo tempo 

 anche u e v diverranno funzioni di t, e S' si cambierà in S: dunque S=-o. 



Sia per esempio i'r=e'", it^e*^, w^e*"" : risidterà 



