DI A. GENOCCHI. "^5 



m(m — i){m — 2) 



Se-('^')- = a'b' — i7i{a — kY{b-hky^ "'^'^ ^ '\ a — 2ky(b-^2ky 



1.2.3 '{a-3ky{b^3ky^ 



:±:(« — mky(b-+-mky , 



e così questo polinomio di /re -hi termini dovrà ridursi a zero ogni- 

 qualvolta sia ni^r-^s . 



Si otterrà un altro polinomio eguale a zero nello stesso caso , 

 qualunque siano le costanti a, b, k prendendo v^x", u-=x^, w:=:x*. 

 Ma si possono dedurre anche dal calcolo delle differenze altre identità 

 pili generali. Sia 



u = {ax-^ay)'^[bx-^b^Y[cx-^c,y 



e «j /3, y, quanti si vogliano esponenti tutti interi e positivi : sup- 

 posto ùi.x-=ih costante, si avrà A"'« = o se sia /« >■ « -H |3 H- 7 -H ... 



Ma 



m(m — i) mini — i)(w — 2) 



A'^ii^u„ — mu„,_,-^ ^^ Um-3. ^^ ^-^o iim-3-^- • ■ — "o ■• 



1.2 1 . 2. j 



si avrà dunque in tal caso 



m(m — i) m{m — i)(m — 2) 



u„ — mu„.,-\ u„_:, -\:, M„_3-J-. . .rti« =0 , 



1.2 I . 2. j " 



e posto x:^o , sarà generalmente 



u„ = [a,-+-a7ihy{b,-i-b?ihY{c,-+-c?ihy 



Il teorema sopra ricordato di Pfaff comprende una formola di 

 Lexell (^Novi Comrti. Acad. Petrop., tom. XVI, pag. 284, anno 1771) 

 e un'altra di Arbogast (^Calcai des dérivations , p. 3 29). Più general- 

 mente si può asserire, che la precedente equazione Ira u^, u,, ... h„ 

 sussiste se si prenda 



u„={d\uz'"'y' {dKvz'"'y' (d-' .wz'^y- , 



purché sia ??i> «a, -f-^|3, -1-77, -+-... , e a(z, H-è/3,-j-c7, -»-... =0 , 

 supposti interi e positivi anche u e a, , |3e(3,, yey,, ecc. 



Il compianto matematico francese Prouhet ha date formole di questa 

 natura in una Memoria pubblicata dal sig. Liouville nel suo giornale, 

 2^ serie, tom. I, pag. 321-344 (anno i856). 



