76 DIMOSTRAZIONE d'uNA FORMOLA DI LEIBNIZIO E LAGRANGE, ECC. 



IX. 



La proprietà della funzione Y dimostrata nel § VI conduce in un 



modo assai semplice al teorema di Lagrange. 



Perocché facendo A = o si ha V:^p = F(jc) , e per esser nulle nello 



, j . dV d'V J"F ., 



stesso caso tutte le derivate -n- , -77-, , • • • -ym ■> i' teorema di Maclatjrin 

 ah da'- da'"- 



somministra 



y=F{x)A ^^ .Y„, , 



^ ' 1 .2. . .{m-+-i) ' 



ove si rappresenta con V^ una funzione che non diviene infinita per h=zo. 



Fatto x-hh = a , —■:=■ — t , si avrà dunque 



_,, , udp i" diii'dp) 



1.2. . .(to-Hi) ° '" ' 



e nel medesimo tempo sarà pz=iF{a), u=z(f(a), u^=f[x), h = a — x, 

 x^=ia-^tf{pc) , cosicché avremo ottenuto il teorema di Lagrange. 



Il sig. Tchebichef ha data un'espressione notabile per semplicità del 

 resto di questa serie (Journal de Liouville , 2' serie, tom. II, iSS^, 

 pag. 171), ed é la seguente: 



I p-.F'i 

 1.2... m] 



'{x-\-i)\tf{x-^i)-^a — xj 



dx 



di"^ 



ove si deve fare t = o dopo le differenziazioni. 



Lasciando x sotto il segno integrale, cambiamo altrove .r in x^\ 

 indi facciamo 



X — (Z = {Xa — a)z : 



la serie darà F{x^), essendo x^z=a-^tf{x^) , e il resto diverrà 



1 . 2 . . .m\ 



d'". F'(a ■+■ i •+■ (Xa — a) z\ \f(a ■+■ i ■+- (x^ — a) z\ — zf(x„)]'" 

 -— — dz , 



