2 GUSTAVO SANNIA — CARATTERISTICHE MULTIPLE DI UN EQUAZIONE, ECC. 



La C„ e semplice, doppia, ..., secondo che il rapporto dy.clx è una radice semplice 

 doppia, .... della (3). 



Una C„ è eventualmente contenuta in qualche carattei'istica C„+,, di ordine «-|-/((/«^l,2,...); 

 ciascuna di queste è costituita dalle (1) e da certe altre inrxziom pi^{i-\- h = n -\- \, 

 « -f- 2, . . . , w + h) di X soddisfacenti le (2) e le equazioni che si ottengono esprimendo che 

 le precedenti equazioni sono compatibili con le altre: 



(5) W^^' (r = 2,3,...,A + l) (*). 



2. — Le caratteristiche sono di capitale importanza nella teoria dell'equazione (E), 

 quindi il loro studio s'impone. Or se le caratteristiche semplici sono state sufficientemente 

 studiate {**), altrettanto non si può dire delle multiple. 



E. E. Levi in una interessante Memoria (***) ha iniziato lo studio sistematico delle carat- 

 teristiche multiple, trattando delle caratteristiche doppie e, in un caso particolare impor- 

 tante, delle triple. In questo lavoro mi propongo di riprendere e proseguire parte (****) dello 

 studio del Levi, classificando tutti i tipi possibili di caratteristiche triple e quadruple e gran 

 numero di tipi di caratteristiche v-ple (4 <C v < n). Una classificazione completa di queste 

 ultime ci è interdetta dalla grave complicazione dei calcoli necessari e che conducono a for- 

 molo che sembrano ribelli a qualsiasi legge di ricorrenza. 



Equazioni delle caratteristiche. 



3. — Procediamo anzitutto al calcolo effettivo dei primi membri delle (5), i quali sono 

 funzioni di x,y, e di tutte le pi^ con i-\-k<n-\- r. Pel nostro scopo basterà tener conto 

 solo di quei termini che dipendono dalle pi^ con i-\-ì<=^n-\-r, n-\-r — 1, n-\-r — 2, n-\-r — 3, 

 tralasciando di scrivere esplicitamente tutti gli altri (*****). Senza entrare nei particolari, 

 indicherò la via da seguire per giungere alle formule volute con la maggior possibile eco- 

 nomia di sviluppi. 



Per semplicità, faremo le posizioni seguenti: 



ÒF _ ò^F ___ ò-F ___ , ìP-F 



ÒVi,n-i~ " ÒVi.n-iÒVi.n-i ~ '■" di'.v.-idft.n-j-l ~ '^ ' ÒVi.r^iÒ'Pi.n-i-l' 



Ì?F Ò^F 



dPi.n.idPj.n-jÒPk,«-lc '■''" dlH,n-iÒP}.n-idPl^,r>-k-l 



,,j> &^_ 





dPi.n-i dPj,n-j dPKn-k dPl,n-t 



l'ijìt,] , 



ÒF , ò^F 



ÒPi,n-i-l ÒPi,v^i-l dPj,n^j-\ 



(10) -^L_ = c„ -^E_^d,. 



(*) Per quanto precede cfr. Godrsat, Lecons sur l'integration des équations mix dérivées partielles dii second 

 orare, voi. II, cap. X. 



(**) GouRSAT, loc. cit., § 210-11. Nuove proprietà delle caratteristiche semplici ha dato recentemente nelle 

 Note : Sur les caractéristiqites simples des équations aux dérivées partielles en deux variables (' Comptes Rend. ,, 

 7 octobre 1912), Propriétés nmwelles des caractéristiqiies etc. (Ibid., 24 février 1913). 



(***) Caratteristiche midtiple e problema di Cancky (" Ann. di Malem. „, t. XVI della serie III, p. 161 e seg.). 



(****) Ci limiteremo al campo delle funzioni analitiche. 



(*****) Volendo ottenere una classificazione completa delle caratteristiche quintuple, bisognerebbe tener 

 conto anche dei termini dipendenti dalle Pik con i-]-k = n-\-r — 4. E così via. 



