MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUK., SERIE II, VOL. LXIV, N. 2. 



Infine, derivando successivamente la (F5) totalmente rispetto ad y, si riconosce che 

 -r-Y- , ■ • ■ son formate tutte con la medesima legge. 



Infatti, tenendo presenti le (22), (31), (32), si trova, per r > 5 : 



= 2j "* ■?<•»-<+'• + S V 2 '^'' •^■'>--'+i + '■*'' + ^v Pi.'^-i+'-i + 





hi/ 



(F.) 



ove 

 (33) 



(34) 



+ 2 L ( 2 ) 2j ^'' ■^■'■."-•'■+2 + ( 2 ) "•■ + '"P' + ''* Pi.n-i+>-2 + 

 « J 



i'i i 



Pj.n-j+2 + Mi 4- l"»"' ^ Pi,n-i+r-3 + 



+ !? + «-.. 



m'^' =-- 10 , w'" = ( 3 ) per r > 6 , 



(35) u..'^' = [( ; ) - 10] (2 &-:/ Pj.^-j+1 + ^ 



i«](2f^^--+v)+(^--^^l7- 



4. — Ora formiamo le equazioni che determinano le successive caratteristiche di or- 

 dine « + 1, n -\- 2, ... contenenti l'assegnata C„, supponendo, per semplicità, che questa 

 sia la curva di elementi di ordine n: 



(36) 



y = Z = Pio=Poi = 



■-Pon=0 (*). 



Supponiamo inoltre che questa caratteristica sia multipla , sicché dy = sia radice 

 almeno doppia della (3); allora sarà: 



(37) 



F=0, ao: 



ÒF f. ÒF f, 



-5 = 0, «1 = -r = 



Opon OPur^i 



per i valori (36) e qualunque sia x. 



Inoltre le (36) debbono soddisfare l'equazione che si deduce dalla (4) come si è detto 

 nel § 1 ; or le (2) sono soddisfatte identicamente per i-\-k = 0, 1, ..., n — 1, e per i-\-k = n 

 danno 

 (38) pi,^ — p2,n-i = .. .— pn+1.0 = ; 



per questi valori e per le (37), la (4) dà l'ulteriore condizione 



ÒF 



(Ei) 



= 0. 



Notiamo subito che ora le espressioni di molti simboli introdotti sin qui si semplificano 

 notevolmente. Infatti le (11), ..., (14), (20), (21), (23), ..., (32), (34), (35) diventano: 



(39) 



e,- = 



dai 



fi = 



d^ai 



<li- 



òhi 



hi = 



àdij 



dy ' "~ dy" ' ^'~ dy ' '"''^ dy ' 



(40) Ci = fi + (2 7ìio + a'io) i^o,-->+i + «ioo PVn+i , Pi = S'i + «'oi Po.n+i , 



(*) A questo caso possiamo sempre ridurci, eseguendo sulla (E) una trasformazione conveniente della 

 funzione z e delle variabili x, y. Cfr. Gouhsat, loc. cit, § 210. 



