MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOL. LXIV, N. 2. 11 



Tipo A'o {*). — Se le quantità Ooq, 2 -^^ + &o non sono ambedue nulle, la {E2) deter- 

 mina uno o due valori finiti (distinti o non) per la Po,n+i', ma fissata po.n+i, le (Eg), (E4), ... 

 individuano successivamente po,»+2) Po.n+s, — Dunque la C,^ in tal caso è contenuta in una 

 o due 0,.+,. (**). 



Tutto ciò in generale, perchè può accadere che per qualche intero r > 2 risulti 



rcoo Po.n+i + »• -^ + &0 = ; 



allora la (E^) non dà più j>o.n+>--i , ma diventa una condizione a cui deve soddisfare la /)o,»+>--2 • 

 secondo che questa condizione è soddisfatta pur no, la po,n+r-i è arbitraria o non esiste. 



8. — Sia invece «oo ^= 2 -^^ -j- &(, ^ ; allora la (Eg) esige che sia pure -r-^ = 0. Sup- 

 porremo soddisfatta questa condizione e distingueremo due casi. 



Tipo C.2. — Sia èo^O (quindi anche ^^=1=01. Allora, presa }\,.n+i ad arbitrio, è sempre 



raooPo.n+i-{-r^-\-bo=^r -^ + 6o=i=0 



per ogni r>2, quindi le (E3), (EJ, ... individuano successivamente ìhn+ì, Po.n+s, — Dunque 

 ogni C„ del tipo C2 è contenuta in infinite C^+i dipendenti da una funzione arbitraria; ma 

 poi ciascuna di queste è contenuta in una sola C„+i+,j. Ne segue che: dtie superficie inte- 

 grali analitiche distinte non possono avere un contatto di ordine maggiore di n lungo tutta la C„. 

 Tipo Bj. — Sia invece 60 ^ e la C„ sia doppia (e soltanto doppia), sicché «2=i=0. 

 Le (E3), (E4), ... diventano in tal caso equazioni differenziali di second'ordine m pf^^^+i, Po.»+2) ••■ 

 rispettivamente; dunque la C„ è contenuta in infinite C^+u dipendenti da 2/i costanti arbi- 

 trarie. Per fissare una Cnj^hi (/i!>l) contenente la C„, basta assegnare in un punto di G^ 

 i valori di 



Po.n+l , ^^ , ■ • • , Po.n+h-1 , ^^ 



ossia, per le (50), delle funzioni 



Po,n+l ì Pl.n-H , ■••) Po,n.+h—2 1 Pl,n+ìi—2 ì Po.n+h-1 , ^^ Pl,n+h~l • 



Or se due superficie integrali passanti per la C^ hanno in un suo punto un contatto di 

 ordine n-\- h, in questo punto le funzioni precedenti assumeranno rispettivamente uno stesso 

 valore per entrambe le superficie, quindi queste avranno a comune una caratteristica Cn+x-i. 

 Dunque : se due superficie integrali hanno a comune una C„ di tipo Bg ed in un suo punto 

 hanno un contatto di ordine n -|- h, avranno un contatto di ordine n -)- h — ^ 1 almeno lungo 

 tutta la C„ (***). 



(*) Qui ed in seguito l'indice posto in basso alla lettera che contrassegna il tipo che si considera indica 

 l'ordine minimo di multipHcità delle C» costituenti il tipo stesso: così le Ci del tipo A'a sono almeno doppie, 

 quelle del tipo E3 sono almeno triple, ecc. Quando invece le Cn hanno tutte lo stesso ordine di multiplicità, 

 espresso dall'indice, porremo un tratto al di sopra della lettera: così le Cn del tipo B2 son tutte doppie (e 

 non triple). Infine daremo un apice alla lettera stessa, quando le proprietà che enuncieremo per le Cn, che 

 costituiscono il tipo rappresentato dalla lettera, valgono soltanto in generale, ossia possono non aver luogo 

 per alcune delle Cn. 



(**) Qui ed in seguito h rappresenterà sempre un numero intero positivo. 



('") Quanto precede (§§ 7, 8) si trova già nella memoria citata del Levi: i nostri tipi A,', Bj, Cj coincidono 

 rispettivamente coi tipi &.,, B., C^ del Levi. 



