12 GUSTAVO SANNIA — CAKATTERISTICHE linr/I'IPLE DI UN EQUAZIONE, ECC. 



9. — Sia sempre a^o = -^ =:bo = -^-^ = 0, ma la C„ sia almeno tripla, sicché «a = 0. 



Distinguiamo vari casi. 



Tipo D'g. — Supponiamo anzitutto che «io e 3-^-*- + b^ non siano ambedue nulle. Allora 



le (Ej), (EJ, ... sono, in generale, equazioni differenziali di prim'ordine in po.>.+ii I>on+2, ■■■ 

 rispettivamente. Dunque una C„ di tipo D'j è contenuta in infinite C,.^;, dipendenti da h 

 costanti arbitrarie. Ne segue che: due superficie integrali che hanno a comune una d di 

 tipo D's ed in un suo punto hanno un contatto di ordine n -\-h, avranno un contatto di or- 

 dine n -|- li almeno lungo tutta la C„. 



Tutto ciò in generale, perchè può accadere che per qualche r risulti 



ra^o Po.n+i + *■ 17 + èi = ; 



allora la (E,.) dà un sol valore per p^.n+r-^, a meno che sia pure 



(;-)a,o^^ + (;>o + rP„ + Co = 0. 



In questo caso la (E,.) non dà più j:)o.n+i-2 , ma diventa una condizione a cui deve sod- 

 disfare la 2->o.n-^r-z fornita dalla (E,._i) ; dunque ^o,n+.— 2 non esiste o è affatto arbitraria. 

 Tipo E3. — Supponiamo ora che sia 



dai 

 ma che le funzioni 



(58) aio = 3-|^ + 6i = 0, èi=l=0. 



(•59) aooo , -^- h « 00 1 3 -^p- -|- 3 -^ -f- Cq 



non siano tutte nulle. Allora la (E3) dà tre valori finiti al più (distinti non) per po^n+i- 

 Essendo poi necessariamente 



»-aio i'o.-.+i + *■ ly- + *i =•' »■ liy^ + ^1 =!= per '" = 4, 5, ..., 



le (E4), (Es), ... sono effettive equazioni differenziali di prim'ordine in 2^.»+2, ••• ; quindi la C„ 

 è contenuta in una, due o tre C„+i , e ciascuna di queste è contenuta in infinite Cn^^^u di- 

 pendenti da li. costanti arbitrarie. Ne segue che: se due superficie integrali passanti per una C„ 

 di tipo E3, hanno un contatto di ordine n -|- 1 lungo tutta la C„ ed in un suo inmto hanno 

 un contatto di ordine n -)- 1 + h , avranno un contatto di ordine n -\- \ -\-\\ almeno lungo 

 tutta la Ci. 



Tipo F3. — Conservando le ipotesi (58), supponiamo che le (59) siano tutte nulle e che 



sia inoltre -y-j- = 0, come esige la (E3). In tali condizioni la jJo,>.+i resta affatto arbitraria; 



poi si conclude come pel tipo precedente. 



Tipo A'3. — Sia ora «10= -r-^ = ^1 = e le (59) non sieno tutte nulle. In tal caso 



la (E3) è un'equazione algebrica del 3° grado al più e le rimanenti sono lineari ; dunque 

 la C„ ò contenuta in tre 0,,+^ al più. Ciò solo in generale, cioè se non risulta, per un r>3, 



(2)«o + »-Po + Co = 0. 



Che se poi ciò accade, Cn^r-2 non esiste dipende da una funzione arbitraria. 



