MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOL. LXIV, N. 2. 13 



Tipo C'3. — Sia ora «iq = -^ = 6i = 0, siano tutte nulle le (59) e sia -^-3- ^ come 

 esige la (E3). Supponiamo inoltre che non siano ambedue nulle le funzioni 



Allora l'espressione (*) 



(61) (;>o+.Po + c-o=(;-)|;^ + r^ + co + [(;-)^+,-«'oo]po... 



non sarà identicamente nulla per r = 4. Esaminando le (EJ, ... si riconosce che in tal caso 

 la C„ si comporta come una caratteristica di tipo C2, in generale, cioè salvo quando l'espres- 

 sione (61) si annulla pel valore fissato di po,n+i (che è affatto arbitrario) e per un j->>4. 



10. — Or supponiamo che anche le funzioni (60) sieno nulle, sicché, raccogliendo tutte 

 le ipotesi, si abbia: 



/ ògp òa, Òctqo , , f) db(, I 



"2 — «00 — «10 — « 00 — «000 — -57- — -5— — -j— — Oo — Oi — ^ -j~ -f- 

 m^i , J » J u 



[ '^'"-'^ òf ^ òy ~ d/ - df -^• 



In tal caso la (61) diventa: 

 (.oà) L. Oo + J-Po + Co 



.^ ; "0 -r ' HO -r -0 — 2 ■ d,/ • 



Distinguiamo due casi, incominciando dal supporre che sia -^-^H=0. 



Allora l'espressione (63) si annulla per ?• ^ 4, ma non per r > 4; quindi la (E4) diventa 



( + (6ai + 4Pi+ e,) ^^^ + Kn.n,, + i^ = ^ 



e le (E5), ... si riducono alle equazioni di primo grado 



(>• - S) (>• - 4) d'ap I— fr— ^fiì 

 2 • ^^ Ì'0,>i+'--2 i^ ■•■ — ^ U — o, 0, ...). 



Distinguiamo due casi. 



Tipo G3. — La C^ sia tripla e non più che tripla, quindi 03=1=0. Allora la (E'J è una 

 effettiva equazione differenziale di terzo ordine e dà po,n+i con tre costanti arbitrarie: fis- 

 sata po.n+i e presa ad arbitrio Po.n+2, le rimanenti equazioni individuano successivamente 

 Po.n-^3, Po.n+i, ■■■ Duuquo le C„+i contenenti una C„ di tipo G3 dipendono da tre costanti 

 arbitrarie, ciascuna di esse è contenuta in infinite C„+2 dipendenti da una funzione arbi- 

 traria ed ogni C„+2 è contenuta in una caratteristica Cn+^+h- Ne segue che: due super- 

 ficie integrali distinte aventi a comune una C^ di tipo G3 non possono avere un contatto di 

 ordine maggiore rfi n -j- 1 lungo tutta la C^. 



(*) Cfr. la (57). 



