14 COSTAVO SANNU — CARATTERISTICHE MULTIPLE DI UN EQUAZIONE, ECC. 



Tipo G^. — La C„ sia almeno quadrupla, quindi sia «3 = 0. In tal caso la (E'J è una 

 equazione differenziale di second'ordine in 2>o...+i o di primo ordine (di primo o secondo grado) 

 è un'equazione algebrica (al più di quarto grado) oppure è un'identità. Dunque le C+i 

 contenenti una C„ di tipo G4 possono essere in numero iìnito (quattro al più, distinte o non), 

 possono dipendere da una costante arbitraria, possono dividersi in due sistemi, ciascuno 

 dipendente da una costante arbitraria, possono dipendere da due costanti arbitrarie, possono 

 infine dipendere da una funzione arbitraria (la po,»+i)- Circa le Cn+2, C^+s, ■■■ vale quanto 

 si è detto pel tipo precedente. 



11. — Nel precedente paragrafo abbiamo supposto -t4^=4=0. Or supponiamo -^^=0, 

 e perciò ritorniamo alle ipotesi iniziali (62) di detto paragrafo, le quali ora diventano: 



/ I òtto d«i òooo ò'qn 



^ a, — «00 — «10 — a 00 - «000 — 17 — 17 — "ò^-"^ — 



^^^' ^ db, d^'F d'F 



( —^^~^' — '''>—l"y-^ — 'Ì^ — ^- 



Per tali condizioni, l'espressione (61) è nulla per ogni r, quindi l'equazione (E4) si riduce 

 ancora alla (E'4) e le rimanenti (E5), (E,.) diventano: 



(E'5) 





+ [lO«2o^^^+lo(3«iooi^o,.+i + 3^" + «'oi+«'io)^^+Mo]i^o,.+2 + 



(E'.) \ + S [ ( ; ) ^00 + ( ; ) «'00] P,.n,. + ^'^ «20 ^^ + 



+ «*%^+|^ + ^- = 0- Pe.-^=6,7,... 



Distinguiamo vari casi. 



Tipo Bg. — La C„ sia soltanto tripla, sicché «3=5=0; allora le precedenti sono effettive 

 equazioni differenziali del terzo ordine in ^Jo,„+i, Po.»+2, ■•■ rispettivamente. Se ne deduce, 

 come pel tipo B2, che le C„+a contenenti la (7„ dipendono da 3/« costanti arbitrarie e che 

 se due superficie integrali hanno a comune una C„ di tipo B3 ed in un suo punto hanno un 

 contatto di ordine n -f" h, avranno un contatto di ordine n -|- h — 2 almeno luìigo tutta la C„. 



Tipo B'4. — La C„ sia almeno quadrupla, quindi «3 = 0, ma «jo? ^"^ H~ ^2 non sieno 



ambedue nulle. Allora valgono le stesse considerazioni svolte pel tipo B2, ma solo in gene- 

 rale, perchè può accadere che per la ^o,«+i fissata, soluzione di (E'.j), qualcuna delle (E'5), 

 (E'r) si riduca ad un'equazione differenziale (non più del second'ordine, ma) del prim'ordine 

 ad un'equazione algebrica di primo grado, ad un'identità ad un assurdo. 



