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MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXIV, N. 2. 15 



12. — Sempre nell'ipotesi che la C„ sia almeno quadrupla e che siano soddisfatte 

 le (63), supponiamo che sia: 



«20 = 4^+02 = 0, 02=4=0. 

 Allora è sempre 



'•a2oÌJo.n+i + »--^ + è2 = /•-— + 62 =1=0 (r=5, 6, ...), 



quindi le (E'g), (E',.) sono effettive equazioni differenziali del second'ordine; dunque una C^^^i 

 contenente una C„ in esame, è contenuta in infinite Ci+n-), dipendenti da 2/i costanti arbitrarie. 

 Invece la (E'4) diventa 



3«" (^^r+ (6a, + 4P, + e) ^^ + X„ ^o,.,i + ]^ = 



ossia, per le (54) e (57), 



+ 6«,ooi.wS^^+Ì4|;^+6-g^ + 4Ì^ + c^o + 



+ (6^ + 12^ + 4«"oo + 3èoo) i>o.«+i + 



_j_ 2 ^2 -^ + 3 «'000) iJ%,«+i + «0000 P\n+i I Po,»+i + ^yr = 



e può condurre a varie determinazioni per Po.n+i ■ 



Tipo H^. — Se «11=4=0, si hanno due funzioni ^3o.>i+i ciascuna dipendente da una costante 

 arbitraria: la C„ è contenuta in due sistemi di C^^i ciascuno dipendente da una costante 

 arbitraria. 



Tipo I4. — Se «11 = 0, ma le funzioni 



((54) 64p^ + 4^ + Ci, 6^+3a'io + 2«'oi, «100 



non son tutte nulle, la (E''^ dà p^n+i con una costante arbitraria: la C„ è contenuta in infi- 

 nite C„ii, dipendenti da una costante arbiti-aria. Ne segue che: due superficie integrali, aventi 

 a comune una C„ di tipo I4 , se in un suo punto hanno un contatto di ordine n -|- 1 , avranno 

 un contatto di ordine n -|- 1 almeno lungo tutta la C„; se in un suo punto hanno un contatto di 

 ordine n + 1 -|- h, avranno un contatto di ordine n -j- h almeno lungo tutta la C„ . 



Tipo J4. — Or supponiamo che siano nulle le funzioni «u e (64), ma che non sieno 

 tutte nulle le funzioni 



(65) . 



( ^ ~W~ "^ "'"^ "W^ "^ *""''" "I" 3^00 ' '''0000 ' 



allora la (E''^ dà 4 valori (al piìi, distinti non) per po.n+i : la C„ è contenuta in quattro 

 Cn+ì. al piìi. 



