16 COSTAVO SANNIA — CAIiATI'EIU8TICHE MULTIPLE DI UN EQUAZIONE, ECC. 



Tipo K.j. — Se poi anche le (65) son tutte nulle ed è anche nulla -v-j~ 



la (E".i), la ^o,'.+i festa affatto arbitraria: le C^+i contenenti una (7„ di tipo E^ dipendono 

 da una funzione arbitraria. 



Una proprietà comune a tutti i tipi considerati in questo paragrafo è la seguente: due 

 superfìcie integrali, acenti a comune una C„ di uno dei tipi H^ , I4 , J4 , K4 , se hanno un con- 

 tatto di ordine n -(- 1 lungo tutta la G„ ed un contatto di ordine n + 1 -|- h in un suo punto, 

 avranno un contatto di ordine n -]- h almeno lungo tutta la C„. 



13. — Nel precedente paragrafo abbiamo supposto è2H=0- Or supponiamo 62 ^ e 

 perciò ritorniamo alle condizioni iniziali di detto paragrafo, che diventano: 



(^^) j _ òao __ òa, __ ò»3 _ ò&„ _ òapo __ ò% _ ìf~F __ à'F _ ^ 



\ ^1/ ày òy òy dij òy'^ d?/ dt/'-* 



Per tali condizioni, supponendo fissata la funzione po,n+i nel modo che diremo più innanzi, 

 le (E's), (EV) si riducono, in generale, ad equazioni differenziali di prim' ordine in po,n+2, 

 lh.n+3, ■■■ rispettivamente; dunque, in generale, una C^^i contenente -la C„ in esame, è con- 

 tenuta in infinite Cn+i+h dipendenti da h costanti arbitrarie. 



Invece la (E"4) può condurre a varie determinazioni per Po.n+i precisamente come nel 

 paragrafo precedente. Si hanno così quattro tipi distinti: 



Tipo L'4. — La C„ è contenuta in due sistemi di Cn+i, ciascuno dipendente da una 

 costante arbitraria. 



Tipo M'4. — La C„ è contenuta in infinite Cn+i dipendenti da una costante arbitraria. 

 Due superficie integrali, aventi a comune una C„ di tipo M'4, se in un suo punto hanno un 

 contatto di ordine n -|- h, avranno un contatto di ordine n + h almeno lungo tutta la C„. 



Tipo N'4. — La C„ è contenuta in quattro C„+i al piìi. 



Tipo 0'4. — Le (7,i^i, contenenti la C„, dipendono da una funzione arbitraria. 



Proprietà comune ai quattro tipi ora considerati è la seguente: dtie superficie integrali, 

 aventi a comune una C„ di uno dei tip)i L'4, M'4, N'4, 0'4, se hanno un contatto di ordine n -|-1 

 lungo tutta la C„ ed un contatto di ordine n -|- 1 -|~ h in un suo punto, avranno un contatto di 

 ordine n -|- 1 -|- h almeno lungo tutta la C„ . 



14. — Con ciò è finita quella classificazione delle caratteristiche multiple che è con- 

 sentita dalle nostre formole. La si potrebbe continuare, suddividendo i tipi contrassegnati 

 da una lettera munita di un apice in sottotipi, qualora si possedesse una determinazione 

 migliore delle funzioni Ni, N2, ... che compaiono nelle (E5), (Eg), ... e quindi delle M^, M^, ... 

 ohe compaiono nelle (Fg), (Fg), ... come è detto nella prima nota del § 3. Tuttavia vogliamo 

 segnalare un sottotipo notevole del tipo ()'4 e che chiameremo: 



Tipo B4. — Diremo che una (7„ è del tipo B4 quando è quadrupla e non più che qua- 

 drupla (quindi «4 =1= 0) ed inoltre soddisfa le condizioni (66) e le seguenti : 



[ (hi — (^10 — ■ ^ 01 — ■ '"100 — • c( 000 — '''oooo — "00 — Ci — "0 — 



) d^a ò^Oi à^ccio ^«'on i^Kio ò'fto db; i^i-p » x- /^ 



W V i^r ò'J ^y òy- òy òy dy* 



Per tali condizioni, la (E"4) è soddisfatta identicamente. Inoltre, per le (52), (53), (55) 

 e (56), risulta 



tti = Pi = Ho = 600 — £10 -^ <' = , 



