MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. UlV, N. 2. 17 



quindi le (E's), (E',.) si riducono all'unico tipo 



«4— ''fJ^ + ll^ + iV.-4-O (r = 5,6,...) 



cioè si riducono ad effettive equazioni differenziali di quart'ordine in^o.n+i, i'o.n+aj ...rispet- 

 tivamente. 



Se ne deduce, come pei tipi B2 e B3, che le 0,^^,, che contengono la C„ dipendono da 

 ih costanti ai-bitrarie e che se due superficie integrali lianno a comune la C„ ed in un suo 

 punto hanno un contatto di ordiìie n -j- h, avranno un contatto di ordine n -|- h — 3 almeno 

 lungo tutta la C„. 



15. — La discussione precedente ci ha fatto conoscere molti tipi di caratteristiche 

 multiple di ordine n che sono, o possono essere, contenute in altre di ordine grande quanto 

 si vuole, cioè i tipi: — 



(68) A 2 , C2 , B, , 



(69) A'3, B3, C'3, D'3, E,, P3, G3, 



(70) B, , B', , G4 , H, , I4 , J4 , K, , L'4 , M'4 , N'4 , 0'4 . 



I tipi (68) sono costituiti da C„ doppie (E,) almeno doppie, i tipi (69) da (7„ triple 

 (B3 e G3) almeno triple, i tipi (70) da C„ quadruple (B4) almeno quadruple. Questi tipi 

 comprendono caratteristiche multiple di tutti gli ordini, ma non le esauriscono; comprendono 

 invece tutte le caratteristiche doppie, triple e quadruple, le quali restano completamente classi- 

 ficate nei tipi (68), (69), (70) rispettivamente. 



Si hanno dunque 3 tipi di caratteristiche doppie, 7 tipi di caratteristiche triple, 11 tipi 

 di caratteristiche quadruple. 



Riassumiamo le proprietà delle C^ multiple che abbiamo classificate, ricordando che per 

 quelle appartenenti a tipi contrassegnati con una lettera munita di apice esse valgono soltanto 

 in generale. 



I. — Le C„4i contenenti una C„ di tipo: 



1) A'2, A'3, E3, J4, N'4 sono in numero finito; 



2) D'3, I4, M'4 dipendono da una costante arbitraria; 



3) H4, L'4 si dividono in due sistemi e quelle di ciascun sistema dipendono da una 

 costante arbitraria ; 



4) B2, B'4 dipendono da due costanti arbitrarie; 



5) B3, 63 dipendono da tre costanti arbitrarie; 



6) B4 dipendono da quattro costanti arbitrarie; 



7) C2, C'3, F3, K4, 0*4 dipendono da una funzione arbitraria; 



8) G4 possono comportarsi come in 1), 2), 3), 4), 7). 



II. — TJna (jn+i assegnata che contiene una C„ di tipo A'2, A'3, C2, C'3 è contenuta in 

 una C„+i+ft. 



Le Gn+1+h contenenti una C„+i assegnata che contiene una C„ di tipo: 



1) D'3, E3, F3, L'4, M'4, N'4, 0'4 dipendono da h costanti arbitrarie; 



2) B2, B'4, H4, I4, J4, K4 dipendono da 2h. costanti arbitrarie; 



3) B3 dipendono c?a 3h costanti arbitrarie; 



4) B4 dipendono c?« 4h costanti arbitrarie. 



