18 GUSTAVO SANNIA — CARATTERISTICHE MULTIPLE DI UN EQUAZIONE, ECC. 



Le C„+2 contenenti una d+i assegnata, che contiene tina C„ di tipo Gg o G4 dipendono da 

 una funzione arbitraria e ciascuna Gn+2 è contenuta in una C„^2+k- 



ni. — Una caratteristica C„ di tipo A'2 , A'3 è contenuta rispettivamente in due tre 

 su-pei-ficie integrali (al jìiìi). 



Due superficie integrali distinte aventi a comune tma C„ del tipo: 



1) C2 , C'a non possono avere tm contatto di ordine maggiore di 11 lungo tutta la C„ ; 



2) 63, G4 non possono avere un contatto di ordine maggiore di n -f- 1 lungo tutta la C^. 

 Due superficie integrali aventi a comune una C„ di tipo I4, se in un suo punto hanno un 



contatto di ordine n -|- 1, avranno un contatto di ordine n -|- 1 almeno lungo tutta la C„. 



Due superficie integrali se hanno mi contatto di ordine n-j-h in un punto di una C„ connine 



di tipo: 



1) D'3, L'i hanno un contatto di ordine 11 -(-h almeno lungo tutta la C„; 



2) B2, B'4, I4 hanno un contatto di ordine n -{- b — 1 almeno lungo tutta la C„ (*); 



3) B3 hanno un contatto di ordine n -(- h — 2 almeno lungo tutta la G„ ; 



4) B4 hanno un contatto di ordine n -)- h — 3 almeno lungo tutta la C„ . 



Due superficie integrali aventi un contatto di ordine n -(- 1 lungo una C„ comune ed un 

 contatto di ordine n -j- 1 ~h h in un suo punto, hanno un contatto di ordine: 



1) n -f- h se /a C„ h del tipo H4, I4, J4, K4; 



2) n+ 1 +h se la C„ è del tipo E3, F3, L'4, M'4, N'4, 0'4. 



Suiìerflcie integrali 2)assanti per le B3, B3, B4, C2. 



16. — Per le 6',, di uno dei tipi (68), (69), (70), possono passare delle superficie inte- 

 grali dell'equazione proposte (E). Or resterebbe ad esaminare se per esse ne passano effet- 

 tivamente. La risposta è affermativa per le C„ di tipo Bg e per quelle di tipo C2 (ossia per 

 quelle C„ di tipo C2 che sono soltanto doppie), come ha dimostrato il Levi (**), imitando 

 la dimostrazione data dal Goursat (***) pel caso delle caratteristiche semplici. Allo stesso 

 modo dimostreremo l'esistenza di superficie integrali passanti per una C„ di tipo B3 B4. 

 Precisamente, raccogliendo tutto in un solo enunciato, si ha il seguente teorema: 



IV. — L'equazione (E) sia regolare, analitica nell'intorno di una sua caratteristica C„ 

 analitica. Se la C„ è di uno dei tipi Bg, C2, B3, B4, e quitidi il suo ordine v di multiplicità 

 vale 2, 3 4, per essa passano sempre infinite superficie integrali analitiche nel suo intorno: 

 una di tali superficie risidta individuata quando le si imponga di passare per una curva y di 

 elementi ordine v — 1 arbitraria, che incontri la C„ in un punto e dia in esso per l'elemento di 

 ordine n -|- 1 determinazioni concordi con quelle date della caratteristica. 



Per V = 2 (tipi B2 e C2) si ha il teorema del Levi. 



Sia ora v = 3 (tipo B3) (****). Allora sarà 



ÒF 



■0. 



quindi l'equazione (E) si potrà ridurre alla forma 



(E') 'P3.n-3=f{x, IJ, Z, 2h0,P0l, -,P>10, ■■■,P4.n-i,P2«-2,Pln-l, Pon) , 



(*) Però si deve supporre h> l quando la Cu e di tipo Ij . 



(**) Loc. cit., § II. 



(***) Loc. oit., t. II, § 211. 



(****) Omettiamo la dimostrazione, del tutto analoga, pel caso v = 4. 



