MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXIV, N. 2. 19 



ove f è funzione regolare analitica nell'intorno di un punto che possiamo supporre sia il 

 punto (origine) (0, 0, ..., 0). 



Poi, dovendo essere soddisfatte le (37) ed (Ei), sarà 



f^-^ = -^ = ^^ ^ 



per i valori (36), qualunque sia x. 



Infine, per le condizioni (63), che insieme con la «3 =f= caratterizzano le caratteristiche 

 di tipo B3 , risulterà pure : 



òf _ sy _ ay _ òv _ ay _ ay _ ay _ òy _ 

 ^ ay ^ ^f = ^f = ^f = ^'f ^ ^'f ^. ^'f = 



ày^ àpon àpo,n-, dp,,,j_8 àp„,n-3 ^H ^Po.n-i ày^ Òy^ 



Tutte queste condizioni esprimono che lo sviluppo in serie di f non può contenere ter- 

 mini che, a parte il coefficiente numerico, siano di uno dei seguenti tipi: 



X"", ÌJX'", t/x"", y^x'", PonX"", Pin-iX'", f^.n-^x'^ , 



Po,«-ia''", Pln-2X^, Po.»-ì3f, IJPonX'", yPin-iX", yPo.n-l^'^, 



if'onX'', Po»Pl.r.-l^", PonPon-lOU'^, p\»X'" , yp\nX"\ ì/pon^'^ ■ 



Per determinare le soluzioni della (E') che contengono la C„ (36) invocheremo un noto 

 teorema del Gouesat (*). 



Siene qp (y), cpj (y), cpg (</) tre funzioni arbitrarie della variabile y ; ma tali che per «/ ^ 

 si annullino insieme con le loro prime w derivate. 



Per detto teorema esiste un'unica soluzione analitica della (E') tale che: 



(71) per «/ = sia z — poj^=po2 ... po,«-i = , 



(72) per a; = sia z = (p (y), jjio = tPi {y), P20 — 92 («/)• 



Questa soluzione contiene dunque la curva t di elementi di ordine v — 1 = 2 definita 

 dalle (72), la quale, per le condizioni iniziali imposte alle cp, cpi, (P2, dà nell'origine per 

 l'elemento di ordine n + 1 determinazioni concordi con quelle date dalla C„ (36). 



Ci resta a dimostrare che la detta soluzione contiene anche la C„ (36) ossia che essa, 

 per 1/ = 0, dà ^,s = (0 < i -{- fc < n). Or siccome 



dpiì,—Pi+i,% dx + i9i,s+i dy , 

 si ha, per y = 0, 



_ dpik^ _ d^^po,, . 



da ciò si deduce, per le condizioni iniziali (71), che è 



Pix = (fc = 0, 1, ..., w — 4; i == 0, 1, 2, ...) 



(*) Loc. cit., voi. II, p. 303. 



