20 GUSTAVO SANNIA — CAKATTEKISTICHE MULTIPLE DI UN EQUAZIONE, ECC. 



per !/ == e qualunque sia x. Resta dunque a dimostrare che, per «/ = e per ogni x, sono 

 anche nulle le funzioni di x, 



2).^[k^^n— B, n — 2, w — 1 , n; < « + à; < w) ; 



perciò basterà dimostrare che nel punto iniziale a; = son nulle queste funzioni e tutte le 

 loro derivate rispetto ad x, cioè che risulta 



P,:n-3 =lh,n-ì =Pin-i — pin = (i = 0, 1, 2, ...) 



per a; = 0. 



Ora, per le (71) e per le condizioni iniziali imposte alle qp, cpi, qpg, ciò è vero per 

 i = 0, 1, 2, e d'altra parte la (E') dà Pi.ns = ; dunque l'assunto è dimostrato per tutte le 

 derivate pi^ di z di ordine non maggiore di n. Ammettiamolo per le derivate di ordine n-\-j, 



Pih con < i + ^ < « -j-i- 0' > 0) e k ^n , 



dimostriamolo per quelle di ordine n -\- j -\- 1, cioè per le 



Pj+i .n-ì , Pj+3 , n—2 ì Pj-^i . »■ -l 5 A+l . " • 



La Pj+i,,n-z si ottiene derivando la (E') ^'+1 volte rispetto ad x totalmente, cioè con- 

 siderandovi le 2: e le pi^ come funzioni ài x e y. La serie che si ottiene non potrà conte- 

 nere termini del tipo x'" , perchè tali termini non esistono in f\ quindi ogni suo termine 

 conterrà una almeno delle variabili y, z, p^ (« + A: < w +_; + 1, k<n) salvo la pj+4,„_3 

 medesima. Or queste variabili si annullano tutte per a;::=0, tranne forse ^j+3,„_2, ^j-(-2;m-n 

 Pj+i,n- Ma i termini contenenti queste sole variabili (che sono derivate di ordine massimo) 

 non potrebbero che contenerle linearmente, quindi dovrebbero provenire da termini di f del 

 tipo p2.n-2-i Pi,n-i , Pon', or quosti non esistono in f, quindi è certamente ^Jj4.4,„_3 =■ per a; = 0. 



La ^j+3.„_2 si ottiene da (E') derivando totalmente una volta rispetto ad y e j volte 

 rispetto ad x. Non essendovi in f termini del tipo yx'^, si otterrà una serie in cui ogni ter- 

 mine conterrà almeno una delle variabili y, z, pi^ {i-\-k<n -\- j ^ \, A; < w -j- 1) salvo 

 j3j+3,„_2i e tutte queste variabili si annullano per a; = 0, tranne forse le 



Pi+2 , "-1 . Pi+i .», Pa. n+1 (a <j). 



Ma non vi saranno termini formati con queste sole variabili, perchè essi potrebbero 

 provenire soltanto da termini di f del tipo p2,«-2) Pi.n-i, i'on^-''"" e questi non esistono in f. 

 Dunque pj+s „-2 = per a; = . 



1^3. Pj+2,n-i è nulla sej= 0. Se j^ 1, si otterrà da (E') derivando totalmente due volte 

 rispetto ad y e j — 1 volte rispetto ad x. Siccome in f non vi son termini del tipo y^ x'", 

 ogni termine della nuova serie conterrà una almeno delle y, z, pik {i-\-k^n-\-j-\-l, 

 k<,n-\-2) salvo Pj-i.n , Pa,n+i(oL<j), psj,+2{^ ^j — !)• Ma termini formati con queste 

 sole variabili non vi saranno, perchè dovrebbero essere del tipo 



Pj+l.n I Pa,n+i 1 Pa,n+1 Psn+i , F/3,n+2 



e quindi dovrebbero provenire da termini di f del tipo 



P2.n-2, Pl.n-iXJ-^, Pa„ y X^-'^-\ ??o.«-l aJ^'~°~S p\n XJ-^-'^-l^, Pon X^-^'^ 



i quali non esistono in f. Dunque 2'j>2,»i-i = per a; = 0. 



