MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXIY, N. 2. 21 



Finalmente la p;+i,„ è nulla se j = o 7=: 1, per le condizioni iniziali (72). Se j'^2. 

 si ottiene da (E') derivando totalmente 3 volte rispetto ad y e j — 2 volte i-ispetto ad x. 

 Siccome in f non vi sono termini del tipo ì/^x", si otterrà una serie i cui termini conter- 

 ranno almeno una delle variabili y, z, pji, {i-\- k <n -j-j, k<n -\- 3), salvo ^/-ri.n, le quali 

 si annullano tutte per x ^0, tranne forse le 



Pa.n+i{a<j), Ps,»+2{?^j—Ì), Py.«+3(T^Ì — 2). 



Ma di termini formati con queste sole variabili non ve ne saranno; essi infatti non 

 potrebbero essere che del tipo 



Pa.n+l , Pa,n+1 Pn.n+l , Pa,n+l PB,n+l P} ,k+1 , P$.n.[-2 » Pa,n+l , Pll,n+2 j Py,»+3 



e questi dovrebbero provenire da termini di f rispettivamente del tipo 



^2.«-2 a;^'-", Po.n-2 XJ-'^-^, Pi,n-2 00^'~'^-\ ^O^n-i «/a?^-"-", Pi.n-i yX^-^-\ Po„ y^X^'"'^, 

 PonPl.n-iXJ-'-'^-a, PonPo.n-lX'-'-''-^ p\n yx''^'^'^ , 



Po.n-lX^-'^-^ Pl.n-iX^'-^--, PonyxJ-fi-% 



p\nXÌ-''-^-\ 



p^nXi-y-K 



Tali termini non esistono in f, dunque jjj_^i„ = per aj = 0. 

 Con ciò tutto è dimostrato. 



Morcone (Benevento), 11 Settembre 1912. 



