VINCENZO MAGO — TEORIA DEGLI ORDINI 



TEORIA DEGLI ORDINI 



Per le funzioni che considereremo si supporrà che: 



1° abbiano variabile il cui campo sia quello dei numeri interi (0 escluso); 

 2° assumano valori reali positivi. 

 Queste ipotesi servono ad evitare l'eventuale comparsa dello zero a denominatore, ciò 

 che semplifica l'enunciato e la dimostrazione di vari teoremi. 



L'estensione della teoria a funzioni reali di variabile reale, rimanendo presso a poco 

 invariato l'enunciato dei teoremi, è ovvia; sarebbe inoltre per noi di nessuna utilità. 



Colle lettere f, g, h, k indicheremo dunque funzioni del tipo suddetto, cioè successioni 

 positive. 



Seguendo i simboli ideografici usati nel Formulario Mathematica di G. Peano, 5" edi- 

 zione, 1908, scriveremo: 



A^,A,A;€QFNi. 



Per evitare lungaggini e ripetizioni enunciando o dimostrando in linguaggio ordinario, 

 varranno per noi le convenzioni seguenti: 



Indicheremo sempre la variabile con x, scriveremo -^, ^ in luogo rispettivamente 



di -'^ìx, - — \x e -^ invece di - — \x. 

 x" ' x"" g gx ' 



Quando si parlerà d'un limite di funzione, verranno da noi sottintese le parole " al 

 volger della variabile x all'infinito „ e scriveremo lim /■ conforme al Formulario [limite della 

 successione f al tendere all'c» di x\. 



Pox'remo 0/ al posto di " ordine di /" „. 



I numeri reali considerati come ordini. 



Def. Se m è un numero reale determinato e finito, dicesi che m è l'ordine di f quando 

 il limite di -^ è un numero reale positivo (non nullo). 



fx 



(0) Def. »weq . 3 : m = 0/'. = . lim ~ l^eQ. 



Teor. Se m è reale ed a e è son reali positivi, m è l'ordine della successione ax™ + h. 



(1) ?w€q . a, òeQ . 3 .m = 0(aa;'" + ^)l^- 



[Invei-0, essendo lim ;~^- - 1 a? ::= lim a— ;;rH »;: 1^ = ^* che per ipotesi è reale posi- 



tivo, dalla (0) segue che m ^ Olax"" -\- b)\x]. 



