MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXIV, N. 8. 5 



Mutando i valori di a e di 6 otteniamo tante diverse successioni del tipo di ax"'-\-b; 

 il teoroma precedente ci mostra quindi che un reale qualsiasi è ordine d'innumerevoli fun- 

 zioni fra loro differenti. 



Supponendo (sino al termine del presente §) reali gli ordini di f e di ^ [cioè supponendo 

 esistere due reali m ed n tali che in = Of, n = Og'\, dedurremo dalla (0) vari teoremi che ci 

 serviranno di guida nel porre definizioni fondamentali fra ordini qualsiasi. 



Teoe. Se gli ordini dì f e di g sono numeri reali eguali, lim — è reale positivo. 



(2) 0/-, O^eq. 0:0/^=0^. = . lim ^|a;eQ. 



[Poiché per Tip. e per la (0) lim -^ e lim-^ son reali positivi, — cioè lim— è 



^ '^ • lim-^ ^ 



pure tale]. 



E inversamente: 



Teoe. Se lim— è reale positivo, e l'ordine di /" è reale, l'ordine di ^ è eguale all'or- 

 dine di f. 

 (2') lim ^|a;6Q.0/'eq. 0.0^ = 0/-. 



Teoe. Se l'ordine di /" è maggiore dell'ordine di g, lim — è infinito e viceversa. 



(3) OjT, 05req.o:0/>0^. = .lim-Ì^|a;=oo. 



gx 

 lim -4 



[Per ip. ^— è un reale positivo (non nullo). Posto m > w, lim a;*""" ^ oo quindi 



lim -~ 

 x" 



lim — ^ lim — ;;^ 



^— X lim a;"""" cioè lim — è e». Viceversa se lim — =; oo , ^ V lim x'"~" = <x> , ma 



lim4 ' ' lim-^ 



x" x" 



poiché la frazione è un reale positivo, lim aj™"" = oo per cui m^n cioè Of^ Qg]. 



Teoe. L'ordine di fy^ g e la, somma degli ordini di /" e di g. 



(4) Of, Ogeq.o.O{fxX9x)\x = Of+ Og. 



[Per ip. lim-^, lim -^ son reali positivi, quindi è tale lim-^Xli™~v cioè lim ^^ 

 ma allora per la (0), Ofyig=:m-\-n^=Of-\- Og]. 



Teoe. L'ordine di — è l'ordine di f cambiato di segno: 



' I- 



(5) Ofeq.o.0^|x = -0/'. 



f f fx fx \ 



[Per ip. lim— ^ è reale positivo, quindi è tale lim -^ cioè lim-^|a; cioè lim-^|a;, 

 ma allora per la (0) — = — m = — Of]. 



