6 VINCENZO MAGO — TEORIA DEGLI ORDINI 



Tede. Se o è reale l'ordine di f elevata ad a è il prodotto di a per l'ordine di f. 

 (6) a,Oftc^.o.O[fxY\x = aXOf. 



[Per ip. lini -^ è reale positivo, quindi lim 



cioè lim \^^ lo è pure, perciò dalla (0), 



Teor. L'ordine di f è il limite di °^'^ 



log X 



(7) 



0/-€q.o.O/-=lim^^|c.. 



' Ioga; ' 



f.c 



ossia m 



Posto —;;;=px prcndcndo i logaritmi d'ambo i membri avremo log/" — m Ioga; = log jsa; 

 _iogr__logp^ ^^ ^^j 



log a; log X 



(A) 



m ^ lim 



log fx log pa:' 

 log X log a; . 



. fa; . . 



Ora se Of^=m e se lim— ^ ossia ìimpx è un reale positivo, sarà lim log ^jx, un reale finito 



da cui consegue lim °^^^ = Q. Ma allora dalla (A) si ricava subito m = lim .°^ ossia 

 Ioga' ^ ' Ioga; 



Or = lim ° ■ 



log a; J 



Dalla (7) si possono dedurre agevolmente i teoremi cbe precedono. 



§ 2. 

 Gli ordini in generale. 



Data una funzione f può darsi che esista un numero reale in tale che l'ordine di f 

 sia tn, ma ciò generalmente non accade. 

 Eccone un esempio: 



Teor. Qualunque sia il reale m, lim-^ è infinito, e quindi manca l'ordine di e' nel 



campo dei numeri finiti. 



(8) 



meq . 0„, . lim — |a: :^ co . 



[m possiamo supporlo intero, allora, qualunque sia il reale x, sempre com'è noto 



e^> 



(m + 1)! 



X 



da cui -^> 



(»« + !)! 



e prendendo i limiti d'ambo i membri lim -^> lim 



(»•+!)! 



ma lim -; — T—rrr = oo e quindi lim — - è infinito]. 



(m + 1) ! x"' ■' 



Il Du Bois Reymond per vari motivi, fra cui per es. quelli di stabilire criteri per giu- 

 dicare della convergenza di serie (come fece di poi), volendo numerare, confrontare e de- 

 scrivere, per quanto fosse possibile, i vari atteggiamenti delle funzioni (volgendo la variabile 

 all'infinito), pensò in sostanza di dotare d'ordine quelle che (data la sola definizione (0)) ne 

 fossero prive, creando cos'i una classe d'enti più ampia di quella dei numeri reali. 



Mediante una definizione per astrazione noi faremo dai reali nascere gli ordini. 



