MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATOR., SERIE II, VOL. LSIV, N. 8. 7 



Per raggiungere dunque il nostro scopo assumeremo la tesi dei teoremi (3) e (2) come 

 definizione di maggioranza ed eguaglianza di due ordini senza pili supporre che gli ordini 

 che vi compaiono sieno numeri di specie nota, cioè dei reali. 



Le due proposizioni che risultano soddisfacendo alle leggi insegnate dalla logica (come 

 lo provano i teoremi che lo seguono), definiscono per astrazione degli enti che non sono con- 

 traddittori in sé. 



Def. Diremo che " l'ordine di /" è maggiore dell'ordine di ^ „ quando è infinito il limite 



di A 



(9) Of>0^.==.lim'^^|a;=oo, 



Teor. Il segno > fra ordini gode della proprietà transitiva. 



(10) Of>0g.0(j>0h.o.0f>0h 



[Infatti lira -^ = lira I— X -f-jj ^^ per ipotesi lim — ^ co , lim ^ = <», quindi limy^ oo 



ovvero per la (9) 0/"> 0^]. 



Def. Diremo che " l'ordine di /" è minore dell'ordine di ^ „ quando l'ordine ài g e 

 maggiore dell'ordine di /. 



(11) 0f<0g.^.0g>0f. 



Teor. Se-l'ordine di /" è minore dell'ordine di g, sarà lim — = 0. 



(11') Of<Og.==.\im^\x = 0. 



[Infatti se Of <i Og, per la (11) Og^Of cioè lim -|- ^ oo, ma allora lim — = lim ^ = 0]. 



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Ciò posto, ecco la definizione d'eguaglianza fra ordini : 



f 

 Def. Quando il limite di — è un reale positivo non nullo, noi diremo che " l'ordine 



ài f h eguale all'ordine dì g „. 



(12) Of=0^. = .lim-^|a;eQ. 



La nostra definizione è legittima, perchè il segno = fra ordini conserva le proprietà: 

 riflessiva, simmetrica e transitiva. 



[0/"=0f. — {Infatti lim-^ = l e quindi per la (12) Of^Ofl 



f . . « 1 

 Se Of = Og, Og = Of. ] Per ipotesi lim — è un reale positivo, quindi tale è j > 



ma ^ =: lira— ^ lim -|-, quest'ultimo limite è dunque pure un reale positivo, ma per 



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la (12) allora Og = Ofl 



