8 VINCENZO MAGO — TEORIA DEGLI ORDINI 



Se 0f=0g,0g = 0k allora Of=Ok. JDal supposto lim — , lini y son numeri reali 



positivi, tale ne sarà il prodotto, ma: lim — X lim -|- = lim (— X -|-):=liiii -{- quindi 



dalla (12) consegue Of=Ok[l 



Ecco proprietà notevoli relative ai segni > e = fra ordini: 



Teoe. Se l'ordine di /" è maggiore dell'ordine di g allora l'ordine di f -\- g è eguale 

 all'ordine di f. 



(13) Of>0g.o.0[f+g) = 0f. 



[Invero per ipotesi lim -^ = oo , quindi lim ^ ^ 0, ora lim "t^ = lim (^ -|- -|-j = 



= lim-^+ limy = 1 -|- =1, essendo dunque lim "V ^ un numero reale positivo non nullo 



per la (12), (f + S') = Of]- 



Teoe. Se l'ordine di /" è maggiore dell'ordine di g allora l'ordine del modulo ài f — g 

 è l'ordine di f. 



(13') 0/^>O^.O.Omod(f-^) = 0/-. 



Definito astrattamente l'ordine d'una funzione, introdurremo la classe degli ordini 

 dicendo : 



Def. La classe degli ordini è costituita da tutti gli enti che sono ordini di qualche 

 funzione. La indicheremo col simbolo Ord. 



(14) 0rd = a;3a(QFNi)."/'3[0/-=4 



Ne segue : 



Teoe. La classe dei reali è contenuta in quella degli ordini. 



(15) q Ord. 



[Dalla (0) ne viene che se m è un reale qualsiasi, m è l'ordine di x*", quindi m è 

 l'ordine d'una funzione]. 



Le definizioni per astrazione (0), (9), (12) si possono trasformare in definizioni nomi- 

 nali; gli ordini allora ci si presentano non più come enti di specie nuova, ma come classi 

 di funzioni. 



Ecco per es. le definizioni che nascono dalla (0) e dalla (12). 



Def. Se »i è un numero reale, considerato come ordine, esso denota la classe delle fun- 



fx 



zioni tali che se f è una d'esse, lim-'v è un numero reale positivo. 



E in generale: 



Def. L'ordine di f rappresenta la classe di tutte le funzioni tali che se ^f è una d'esse, 



f 

 lim — è un numero reale positivo non nullo. 



In simboli : 



Ord /• . = . QFNi ''gB(Og= Of) 



ovvero per la (12): 



Ord /• . = . QFNi " ^3 (lim -g I a; e q). 



I 



