MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDK., SERIE II, VOL. LXIV, N. 8 9 



Vari autoi-i moderni, Pieri, Russell, Wliitehead (*) ed altri, eliminano le definizioni per 

 astrazione, trasformandole in nominali. Così facendo si può definire nominalmente qualsiasi 

 concetto dell'analisi, che però si trasforma allora in un calcolo fra classi e funzioni. 



Per ovviare però ad alcuni inconvenienti che ne nascono si dovrebbe cambiare il valore 

 dei simboli in uso e intuire i fenomeni aritmetici in modo del tutto differente dall'attuale. 



Noi non seguiremo queste nuove idee, perchè vogliamo per quanto è possibile conformarci 

 al carattere delle teorie su cui la nostra poggia e, dato lo scopo del nostro lavoro, non troppo 

 scostarci dal modo con cui gli altri autori hanno concepito e studiato gli ordini. 



§ 3. 

 Sopra una recente estensione del concetto d'ordine. 



Se lim— è ovvero un numero reale non nullo, ovvero l'co l'ordine di f è rispetti- 

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vamente <, =, > dell'ordine à\ g; se invece lim -^ non esiste, non verificandosi nessuno 



dei tre casi precedenti, l'ordine di f non è né =, ne >, né <I di quello di g. Eccone 

 alcuni esempi: 



L'ordine di x — ^^ \x, cioè della successione 0,2,0,4,0,6,0,8..., non è confron- 



tabile con l'ordine di x, poiché : 



l + (-l)- 



Lm I X =^ Lm ^ \x = 1 ^J i — 



cioè la classe Limes (**) del loro rapporto è composta di ed — e il limite quindi non 

 esiste. 



L'ordine di e''^~^^'\x è minore dell'ordine di e^'^ìx se A;]>1, poiché lim ^ =: 



= lim e=»[(-i)''— ^ 1 = co , ma non è né ^ , né > , né <C dello stesso ordine se k e <^ 

 di 1, poiché allora Lm e"'t(~')°'~=' " ] ^ lO ^loo e quindi il limite precedente non esiste. 



Forse per poter confrontare in un numero più ampio di casi gli ordini di due succes- 

 sioni, alcuni autori recenti pensarono di ricorrere, per stabilire le definizioni di > ed == 

 fra ordini, al massimo ed al minimo individuo della classe Limes di quel tale rappoi'to. 

 Nel caso che quest'ultima si riduca ad un solo individuo, in questo coincidono il massimo 

 ed il minimo e si ricade nelle definizioni già date. 



(*) Vedi p. es. Whitehead and Rdssel, Principia Mathematica, voi. 1. Cambridge, University Press, 1910, 

 pag. 363. 



{**) La classe ' Limes , d'una successione [Lm] è talvolta confusa colla classe ' derivata generale , dei 

 valori della successione stessa. — Fra l'una e l'altra vi sono differenze sostanziali, ad esempio la prima 

 esiste sempre, la seconda può anche mancare: consideriamo la successione ( — 1)"^, essa al variar"^ di x 

 assume i valori di — 1, 1, — 1, 1, ..., la sua classe Limes è composta degli individui — 1, 1 ; la classe 

 derivata generale dei valori che assume la funzione cioè della classe — 1, 1 manca. Quando la classe 

 Limes ha piìi individui distinti (" les limites , di Cauchy) allora non esiste il limite della successione ; 

 quando invece essa possiede un individuo solo, questo è il limite della successione nel senso comune di 

 questa parola. 



