10 VINCENZO MAGO — TEORIA DEGLI ORDINI 



Secondo l'Hausdorff, l'ordine di f è maggiore dell'ordine di g, quando il minimo della 

 classe Limes di — - è maggiore di 0, e il massimo della stessa classe è infinito. Cioè: 



Of^Og.=^. min Lm — | a; > , max Lm -^ | a? = oo . 



j Hausdorff, " Die Graduierung nach dem Endverlauf „, pag. 299 j. 



Sia /■ = — -|- ^ cos^ a; e g:=—, non riusciamo a capire perchè l'Hausdorff giudichi la 



crescenza di f maggiore di quella di g, mentre non esiste neppure un valore della variabile 



dal quale in poi f sia maggiore di g\ c'è qui a parer nosti'o un abuso d'arbitrarietà nell'as- 



segnare un senso alla parola maggiore fra ordini. 



L'autore or ora citato così definisce analogamente il segno minore: 



L'ordine f è minore dell'ordine di g quando il " minimo limite „ è ed il " massimo 



limite „ è minore di + oo. 



0/<; 0^ . = : max Lm ~\x<i-{- oo , min Lm — [a; = 0. 



gx Qx 



Seguito pure dal Borei, così l'Hausdorff definisce l'eguaglianza fra ordini: 



L'ordine di /" è eguale a quello di g^ se il massimo e il minimo della classe Limes 



di ~ sono numeri reali positivi non nulli. 



9 



Of= 0(/ . := . max Lm — \x, min — liceQ. 



f 

 1 Borei, 1910: " Si le rapport -^ a, pour a; infini, des limites extrémes d'indétermination 



/a 



finies, c'est-à-dire différentes à la fois de et de -!- oo, nous dirons que fi et f2 ont des ordres 

 de grandeur égaux „ \. 



Noi non seguiremo queste definizioni perchè due ordini, pur così definiti, non sempre son 

 confrontabili. Esempio ne sono gli ordini di e^'~')°' e e^ per k <Z1 , già da noi considerati 

 in principio di questo paragrafo. 



§ 4. 

 Somma e differenza d'ordini. 



D'ora innanzi con a, b, e, d indicheremo individui della classe degli ordini. 



a, b, c,d e Ord. 



Porremo come definizione Of -\ Oc/ = [/^ X .9], ossia rigorosamente: 

 Def. a -\- b indica quello z tale, che se f e g son successioni positive e l'ordine di fé 

 eguale ad a, e l'ordine di g è eguale a b, qualunque siano le f e g (che soddisfano alle re- 

 lazioni precedenti), z è eguale all'ordine di f Y. g. 



(16) « + 5 = 109 [/•, ^eQFNi . Of=a. Og = b. Q,,,, .z = 0{fX g)]- 



La definizione è omogenea, perciò logicamente sta; ma con ciò non è detto che la 

 somma di due ordini sia sempre un individuo effettivamente esistente, cioè non appartenga 

 alla classe degli assurdi. Infatti z non sussisterebbe se 0(fy^g) dipendesse da. f e da ^ e 



