MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, TOL. LSIV, N. 8. 11 



non solamente da Of e da 0^, poiché se cosi fosse, prese due funzioni fé g' tali che 

 0/' = Of e Og' = Og, in generale (/"X ?) sarebbe diverso da (/" X g') e quindi z dovendo 

 nel contempo assumere questi due valori mancherebbe. 



Per far vedere dunque che la somma di due ordini (effettivamente esistenti) non appar- 

 tiene mai alla classe nulla, dimostreremo il seguente teorema: 



(17) Of= Of .Og = Og' .0.0{fxX9x)\x = 0{fx X g'x)\x. 



[Infatti per ipotesi lim --, e lim ^, sono numeri reali positivi, quindi tale è pure 

 lim ^ X lim 4 , ma lim^ X Hm ^y = lim ^ X -r = lim |^, quindi per la (12) OfX 9 = 



= or X 9']. 



Teoe. a -|- è è un ordine. 



(18) ' a + be Ord. 



[Segue immediatamente dalla definizione (16)]. 



(19) Teor. a + b = b + a. 



[Infatti dall'ipotesi segue che esistono due funzioni f e g tali che 0/"=a, 0^ =^ 6 ; 

 ora a + b=0{fX9), b + a = 0{gXf}, ma fX9 = 9Xf, quindi 0{fX 9) = 0(9 Xf) 

 cioè a + 6 =3 + «]. 



(20) DsF. a + b-ìrc + d—[{a + b)+c]+-d. 



(21) Teob. * a + (è + c) = (« + è) + c. 



[Dimostrazione analoga alla precedente]. 



Teob. Se a è maggiore di b, allora a + e > 6 4- e. 



(22) a>b.o.a + c>b + c. 



f 

 [Infatti sia a=^Of, b = Og, c = Ok; per ipotesi essendo Of^Og sarà lim— = oo e 



f X h 

 quindi pure lim .^ = co , cioè per la (9) (/" X ^0 > (^r X ^), ossia Of + Oh > 0^ + 0^]. 



Teoe. Se a^h, c^d, allora a -\- c^b -\- d. 



(23) a>b .c~>d .-^ .a + c>h ^d. 



[Posto a =0/", è = Og, e = Oh, d^Ok . lim f/ ^ lim— X ir > ma per ipotesi lim — 



g /\k g h g 



e lim — sono infiniti, quindi lim — X-r ="^, cioè OfXh^^OgX^i ossia 0f-\-0h~^0g-\-0k'\. 



Teoe. Se a ~ c^b ^ e, allora a^b. 



(24) a + c = è + c.o.a = ò. 



[Infatti posto a = 0/", h = Og, e = O/i, per ipotesi lim ,, è un reale positivo non 



1><A-M^X 



nullo, ma lim ' (\ ^ ^ lim — , quindi per la (12) Of=^Og cioè a = è]. 



