12 VINCENZO MAGO — TEORIA DEGLI ORDINI 



Teck. L'ordine d'una funzione il cui valore sia una costante a positiva (non nulla) è 0: 



(25) aeQ.0.O(i«:Ni)= 0. 



[Infatti lim ~ = lim^ = a, quindi per la (0), = Oq»]. 



Teor. L'ordine del prodotto d'una costante positiva per una funzione è l'ordine della 

 funzione. 



(26) aeQ.0.OaXf=Of. 



[Lini -^ = lima = a, quindi Oa/'= 0/"]. 



Definiamo ora il contrario d'un ordine. 



Def. — a è quell'ordine la cui somma con a è nulla. 



(27) 

 (28) 



Teob. 





[Posto — Of^Og dimostriamo che Og = ~; invero per la (27) Og -\- Of=: cioè 

 O(5'Xf)^0i ^^ per la (25) se l'ordine di g\f & nullo, esso è eguale all'ordine di una 

 costante; sia fyig la costante k, allora poiché fy^g^k,g = — e quindi ricordando 



la (26) 0g = 0j = 0kXj^0j. csvd]. 



Teor. Se l'ordine dì f è l'ordine di f, allora l'ordine — è l'ordine di ^. 



(29) Of=Of'.0.0^=OJr. 



f 

 Infatti per ipotesi lim -^ è un numero reale positivo non nullo, e quindi tale è pure 



f 11 



lim-^ e per la (12) allora 0^ = 0^ . 



7 



La tesi del teorema (28) avremmo potuto assumerla come definizione del contrario di 

 ordine : 



Dee. poss. — ah quell'ordine x tale che se f è una funzione qualsiasi il cui ordine è a, 

 1 



X è l'ordine di 

 (30) 



f 



— a =: 1 Ord'^a;9 



ft(:i¥Yi^.a = Of.0f.x=Oj 



Teok. Il teorema (29) ci accerta che il contrario d'un ordine esiste sempre. 



(31) — a e Ord. 



Def. Per a — b intenderemo la somma di a con — b. 



(32) a — b = a + {—b). 



(33) Teok. 0/"— 0^ = 0^. 



Of- Og = Of+ (-0g) = 0f+0^ = 0fXj = j-] 



