MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXIV, N. 8. 13 



Teor. Se a 0> ^ allora a — b è maggiore di e viceversa. 



(31) rt>6. = .a — è>0. 



f 

 [Scegliendo opportunamente f e e/, poniamo « = 0/", b^Og. Se Of^Og, lim— ^ e», 



f_ 



e quindi se » è una costante qualsiasi, lim — r^— = oo cioè lim ^- ^ oo da cui — > 0» 



e per la (33) e la (25) 0/" — 0^» >- 0. Viceversa se 0/" — Ogr >> 0, — >■ Ojo ove p è una co- 



L 



stante, cioè lim — = oo ovvero lim — ^-r- = oo da cui lim i = oo cioè Of > Oo . 

 p pYs9 g / -^ ^j 



(35) Teor. (a±c) — {b ±c) = a — b. 

 [Si dimostra facilmente ricordando la (16) e la (33)]. 



§ 5. 

 Prodotto d'un reale per un ordine. 



Il prodotto del reale m per Of sarà per noi l'ordine di f^: 



Def. m X « è quell'ordine x tale, che se /" è una funzione il cui ordine sia a (qualunque 

 sia la f), X è l'ordine della funzione f elevata ad m. 



(36) meq . . m X « = » Ord '^ a;3 [/"eQFNi .a — 0f.0f.x = {fyT\y\. 



L'effettiva esistenza di x risulta dal seguente: 



Teor. Se l'ordine di / è eguale a quello di f , Of^ = Of". 



(37) meq.0f=0f'.0-0 {fx)- \x=0 {fxT \ x. 



f . . ... f^ 



[Per ipotesi lim 4- è un reale positivo non nullo, quindi tale è lim -4^ donde per la (12) 



Of" = 0/""]. 



Teor. Esiste m X <?• 



(38) jweq . o . m X «e Ord. 



Def. Il prodotto dell'ordine a pel reale m è per noi lo stesso che il prodotto di m per a. 



(39) meq.0.aX'>* = w*X«- 



Teor. Il prodotto d'un reale ner una somma d'ordini gode della proprietà distributiva 



(40) W2 eq . . Ht X (« + ^) =^ »* X « + wi X ^• 



[Siano f e g convenienti, a^Of, b=^Og; a + ò^0(/'X5') quindi wX(« + ^) = 0(/'X5')"'= 

 = (f" X ^'") = Of" + 0^" =mX0f-\-mX0g = m Xa+m X b]. 

 Teoe. Se »i ed w son reali, (»i-|-w)X«^»*X«-l-wX«- 



(41) m, neq . Q . (w -j- w) X (^ = wi yC a -\- n XO'- 



[Posto a = Of, (?w + w) X « = 0^+" = 0/*" X f" = 0f' + 0f" = m0f+n Of]. 



