14 VINCENZO MAGO — TEORIA DEGM ORDINI 



Teck. Date le ipotesi precedenti : 



(42) {m n) Xa — mXinX ai- 

 la = Of; (m «) X a = Of^" = (f )"■ = m Of ^ m {n Of)]. 



(43) Teoe. OXa = 0. 1 Xa — a. 



[a = Of; X « = X 0/"= 0/^ = 01 = ; 1 X « = 1 X 0^= Of = 0/ = a]. 

 Teor. Se m è un reale e m X a è 0, ne sono nel contempo nulli m ed a, allora o m 

 e nullo a è nullo. 



(44) meq .mX<^ = ^'- '«^q '^ lO ^«eq -^ lO .'. : »» = j a = 0. 



[Sia a = 0/", poiché mX a ^ 0, Of" ^= e quindi per la (25) f" è una costante, ma 

 perchè ciò si verifichi o m e nullo ovvero f è una costante (l'ipotesi vieta la coincidenza 

 dei due casi): nel 1° caso il teorema è verificato; se è vero il 2°, O/':=;0 quindi a = e 

 il teorema cosi è dimostrato]. 



§ 6. 



Considerazioni sulle operazioni fra ordini 

 con speciale riguardo alla operazione di prodotto. 



Qui si presenta il problema d'introdurre il concetto di prodotto fra due ordini qua- 

 lunque, di cui non fu data sinora alcuna definizione soddisfacente. Per poter veder bene ciò 

 che rende difficile il costruirlo, è opportuno svolgere prima alcune considerazioni d'indole 

 generale sulle operazioni fra ordini. 



Definire un'operazione a fra due individui di una classe E d'enti, vuol dire costrurre 

 ' una funzione che faccia corrispondere alle coppie d'individui di E, uno o piìi individui di E, 

 ben determinati. 



Consideriamo una funzione lì di f e di g. Agli ordini di f e di g facciamo corrispon- 

 dere l'ordine di H. Applicando H ad una coppia qualsiasi di funzioni, possiamo così stabilire 

 una corrispondenza fra gli ordini delle coppie di funzioni e altri ordini ; in altre parole, pos- 

 siamo cosi definire una certa operazione a tale che: 



(I) OfaOg = OR(f,g). 



Poiché a dalla proposizione che precede, come or ora accennammo, non è definita solo 

 fra due ordini Of, Og ma fra due particolari successioni i cui ordini sono Of ed 0^, vogliamo 

 vedere a quale condizione deve soddisfare H perchè possa giovare a definire un'oper&zione 

 fra due ordini. 



L'ordine di H viene a dipendere unicamente dai due ordini Of ed Og, se esso non 

 muta sostituendo in H ad f e ^ due successioni qualsiasi i cui ordini siano rispettivamente 

 Of ed Og. 



Quindi condizione sufficiente perchè a possa definire un'operazione fra ordini è che se 

 gli ordini di f e g' son rispettivamente quelli di f e g (ossia Of = Of Og' = Og) qualunque 

 siano f e g', si abbia 



(li) OR {fg) = OH {f,g') 



o per la def. (12) che lim L' ^ , sia un reale positivo non nullo. 



