MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUK., SERIE II, TOL. LXIV, N. 8. 15 



La condizione precedente è pure necessaria: se essa non è soddisfatta, la (I) non defi- 

 nisce un'operazione fra ordini. 



Infatti poniamo: 

 (IH) OH (A .9)=*= OH (r,/) 



e confrontiamo le due proposizioni : 



OfaOg^ OH (/", g) ■ Of a Og' = OH (f , g') 



poiché 0^= Of e Og =^ Og', i primi membri dell'eguaglianze scritte sono identici; ma i loro 

 secondi membri invece per l'ipotesi (HI) fatta su H son differenti. 



a è perciò in questo caso un'operazione che, applicata ad Of e 0^, dà un ordine unico 

 (poiché OfaOg non muta) e che d'altra parte possiede nel contempo vari valori differenti: 

 l'ordine prodotto da a appartiene quindi alla classe degli assurdi, i cui individui possono 

 contemporaneamente assumere forme e proprietà escludentisi a vicenda. 



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Modificando la definizione (I) possiamo sempre dare al risultato dell'operazione a un'inter- 

 pretazione nel campo degli enti non contraddittori in sé, imponendo che Ofa Og ci rappre- 

 senti la classe degli ordini di tutte quelle funzioni H che si ottengono sostituendo in H (f, g), 

 successioni f, g' tali che Of=Of'. Og-=Og'. 



L'operazione a applicata ad Of e Og ci darebbe così una classe d'innumerevoli ordini 

 ben determinata. 



Nel caso che valesse la proposizione (II), questa classe consterebbe di un solo individuo. 



Benché ci paia che da alcuni si tenda, ampliando l'analisi, di ridurla ad un calcolo fra 

 classi, il quale poi, ben sistemato, non sarebbe privo d'interpretazioni eleganti, quando si 

 passasse a descrivere con esso in linguaggio matematico fenomeni di natura; tuttavia, poiché 

 allo stato presente della scienza, queste estensioni son ritenute dai più prive d'interesse, 

 noi, come già su altri argomenti, così in questo, non seguiremo queste tendenze nel nostro 

 studio, e quindi non interpreteremo alcuna operazione a nel modo accennato per ultimo. 



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I reali per noi sono ordini; supponiamo che sia stata antecedentemente definita l'ope- 

 razione a pei reali: allora se m ed n sono tali, man sarà un reale; denotiamolo con p. 

 Volendo estendere poi l'operazione a agli ordini in generale, occorrerà che H oltre alla con- 

 dizione (II) soddisfi ancora alla seguente: 



(IV) Se Of =m, Og = n ed OfaOg = OH (/", g) allora OH {f, g) = p. 



Se ciò non fosse, a verrebbe ad avere pegli ordini reali doppio significato, ciò che produr- 

 rebbe equivoci, e, se si volesse esser consentanei, tale definizione costringerebbe all'assurdo a 

 oppure gli individui che risultano dalla sua applicazione ai reali. 



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Vogliamo ora passare in rapida rassegna alcune funzioni ài f e g molto semplici che 

 godono della proprietà (II) ed eventualmente della (IV) ed esaminare in succinto a quali 

 operazioni diano origine. 



