16 VINCENZO MAGO — TEORIA DEGLI ORDINI 



a) £[(/", g)=^f^g; OfaOg^=0{f-\-g). In questo caso OfaOg è il più grande dei 

 due oi'dini 0/' ed Og come segue dalla (13). a gode della proprietà commutativa; ed estesa 

 a più ordini, della proprietà associativa. Eseguire quest'operazione a sugli individui di una 

 classe d'ordini reali, significa cercarne il massimo. 



bj H{f, g) = mod{f — g); O/'aOgr = mod (/■— (jr). Ha senso sempre se Of^Og ed 

 in tal caso l'operazione dà per risultato 0/" e ciò per la (13'). 



e) R {f, g) ^ mf àz ng ove m ed n son reali; OfaOg ^[mf±ng]. Occorre supporre la 

 funzione in parentesi positiva, del resto considerazioni analoghe a. a) e a. b). 



d) E{f,g)=f Kg; OfaOg = {fX 9)- Nel caso degli ordini reali OifXg) ne dà 

 la somma; ci ha servito per definire quest'operazione fra ordini qualsiasi. 



f f 



e) H (/", 17)^— ; OfaOg = 0~. Pei reali, a è l'operazione di differenza. 



f) R{f,g)=f" ove Of=^m, ed m è reale. OfaOg = Of'"; se Of è reale Y Of è il 

 prodotto di questo reale per tn. 



Operazioni che corrispondono alla ricerca di massimo fra somme e differenze son date 

 dagli H ottenuti combinando opportunamente prodotti e quozienti di /" e di g. 



Vediamo ora qualche funzione che non goda della (II) e che quindi non serva per defi- 

 nire alcuna operazione. 



a') Eif,g)=f; OfaOg^Of. In questo caso OH (/•,(/) =1= OH (f, /) poiché ponendo 



f^ X, f =^x, g - 2x, g ^= X. 0/"= Of , Og = Og' ma Oa;'^'' #= Ox' poiché lim — ^= lim x^ = oo. 



b') H{f,g)=f{g); OfaOg = Of{g). Ponendo f^e%f = é'; g = 2x, g' = x risulta 



Oe^" =4= Oe" poiché lim -^ = lim e" = oo. 



log/ X log g log/ X log g 



c')R{f,g) = e lo^ ; OfaOg = 0e ">? . Ponendo f^é',f' = é'; g = 2x, g' =x 



log e'' X log a:»^ log «'^X Ioga; log .^ + log 2 '"i^" loge^ logi^^^ ■ 



si ha: Oe '"""^ =# Oe '"^^ cioè Oe '"S'^ =+= Oe poiché lime i°s^=oo. 



log/ X log g ^ log /X log g 



d') H (/", g)^=x '°s'^ . È la funzione H precedente, perchè, come è noto, e '"^^ = 



log/ X log g 



log'» 



* 

 * * 



Il problema di definire il prodotto di due ordini consiste nel trovare una funzione 

 H (/, ^r) che goda della proprietà (II) e tale che se Of=ìn, Og ^ n (m ed w essendo reali) 

 l'ordine di H {f, g) sia eguale a m X ^■ 



La funzione considerata poc'anzi in b' gode della proprietà (IV) ma non della (li). Essa 

 fu proposta dal Borei, ma essendo difettosa, a noi pare non opportuno accettarla. 



Le funzioni in e' e in d' [Vedi Teoe. (S)] si trovano nello stesso caso della funzione or 

 ora richiamata, quindi non servono neppur esse a darci una definizione soddisfacente. Non :^ 

 si può quindi soltanto con semplici somme, differenze, prodotti e quozienti di f e di ^, o 

 con le funzioni esponenziali esaminate, ottenere un H che ci serva a definire il prodotto fra 

 ordini. 



Non è poi possibile dimostrare che un H di tal natura non possa esistere, perché noi 

 possiamo immaginare p. es. una corrispondenza tale, che se m ed n sono reali e jw =^ Of, 



log/ X log g 



n = Og, Of X Og sia l'ordine di e '"^ cioè m X n, e se Of e Og non sono reali OfXOg 



sia l'ordine di f^-j-g (che soddisfa alla (II)), cioè: ■, 



log/ X log g 



OfXOg = 0'B.if,g) — Oe '°e (se 0/' ed 0(7 sono reali) ^ ©(jf^.)-^) (se Q/' e 0$rnon sono reali). 



